[论文解读] The Josefson--Nissenzweig theorem, Grothendieck property, and finitely supported measures on compact spaces

Jerzy Ka̧kol, Damian Sobota+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2020

Advanced Banach Space Theory参考文献 66被引用 4

一句话总结

本文建立了紧致空间 $K$ 的刻画，该空间允许存在一列具有紧支撑的 Radon 测度的 Josefson–Nissenzweig 序列——此类序列在弱*拓扑下收敛于零且范数为 1。关键结果是：$K$ 允许此类序列当且仅当 $C(K)$ 在 $\ell_1(K)$ 中的泛函上不具有 Grothendieck 性质。本文进一步证明，任意无限紧致空间的积总是允许此类序列，从而给出了 $C_p(K \times L)$ 包含 $(c_0)_p$ 的补子空间的构造性证明，推广了关于 $C(K \times K)$ 中补子空间 $c_0$ 的经典结果。

ABSTRACT

The celebrated Josefson-Nissenzweig theorem implies that for a Banach space $C(K)$ of continuous real-valued functions on an infinite compact space $K$ there exists a sequence of Radon measures $\langleμ_n\colon\ n\inω angle$ on $K$ which is weakly* convergent to the zero measure on $K$ and such that $\big\|μ_n\big\|=1$ for every $n\inω$. We call such a sequence of measures extit{a Josefson-Nissenzweig sequence}. In this paper we study the situation when the space $K$ admits a Josefson-Nissenzweig sequence of measures such that its every element has finite support. We prove among the others that $K$ admits such a Josefson-Nissenzweig sequence if and only if $C(K)$ does not have the Grothendieck property restricted to functionals from the space $\ell_1(K)$. We also investigate miscellaneous analytic and topological properties of finitely supported Josefson-Nissenzweig sequences on general Tychonoff spaces. We prove that various properties of compact spaces guarantee the existence of finitely supported Josefson-Nissenzweig sequences. One such property is, e.g., that a compact space can be represented as the limit of an inverse system of compact spaces based on simple extensions. An immediate consequence of this result is that many classical consistent examples of Efimov spaces, i.e. spaces being counterexamples to the famous Efimov problem, admit such sequences of measures. Similarly, we show that if $K$ and $L$ are infinite compact spaces, then their product $K imes L$ always admits a finitely supported Josefson--Nissenzweig sequence. As a corollary we obtain a constructive proof that the space $C_p(K imes L)$ contains a complemented copy of the space $c_0$ endowed with the pointwise topology--this generalizes results of Cembranos and Freniche. Finally, we provide a direct proof of the Josefson-Nissenzweig theorem for the case of Banach spaces $C(K)$.

研究动机与目标

• 刻画允许存在具有紧支撑的 Radon 测度的 Josefson–Nissenzweig 序列的紧致空间 $K$。
• 研究此类序列与 $C(K)$ 中的 Grothendieck 性质之间的联系，特别是限制在 $\ell_1(K)$ 中的泛函时的情形。
• 建立紧致空间允许具有紧支撑的 Josefson–Nissenzweig 序列的充分拓扑与解析条件。
• 通过利用具有紧支撑的测度，提供一种构造性证明，推广已知关于 $C(K \times L)$ 中 $c_0$ 的补子空间结果。

提出的方法

• 在 Tychonoff 空间上引入具有紧支撑的 Josefson–Nissenzweig 序列（fsJN-序列）的概念，定义为范数为 1 且在弱*拓扑下收敛于零的具有紧支撑的测度序列。
• 使用测度论论证和有限集上和的组合估计，通过简单扩张在紧致空间的逆极限上构造此类序列。
• 应用 Stone 延拓性质，将序列从 $\beta\omega$ 提升到任意无限紧致空间 $K$ 和 $L$，同时保持弱*收敛性与紧支撑性。
• 从 $(\beta\omega)^2$ 上已知的 fsJN-序列在 $K \times L$ 上构造一个拉回测度序列 $\nu_n$，通过连续映射的复合证明其弱*收敛性。
• 利用 Riesz 表示定理将 $C_p(X)$ 上的连续泛函与具有紧支撑的测度对应起来，将 Josefson–Nissenzweig 性质与 $(c_0)_p$ 在 $C_p(X)$ 中的补子空间性质联系起来。
• 提供了一种直接的、测度论的证明，用于 $C(K)$-空间上的 Josefson–Nissenzweig 定理，避免了早期证明中使用的复杂泛函分析工具。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，紧致空间 $K$ 允许存在一列具有紧支撑的测度、范数为 1 且在弱*拓扑下收敛于零的 Josefson–Nissenzweig 序列？
• RQ2 此类序列的存在性与 $C(K)$ 中的 Grothendieck 性质之间的确切关系是什么，特别是当限制在 $\ell_1(K)$-泛函时？
• RQ3 在紧致空间 $K$ 上，何种拓扑条件使其允许存在具有紧支撑的 Josefson–Nissenzweig 序列？
• RQ4 两个无限紧致空间 $K$ 和 $L$ 的积是否总是允许存在具有紧支撑的 Josefson–Nissenzweig 序列？
• RQ5 此类序列的存在性是否可用于在 $C_p(K \times L)$ 中构造 $c_0$ 的补子空间？

主要发现

• $K$ 允许具有紧支撑的 Josefson–Nissenzweig 序列当且仅当 $C(K)$ 在 $\ell_1(K)$ 中的泛函上不具有 Grothendieck 性质。
• 任意两个无限紧致空间 $K$ 和 $L$ 的积 $K \times L$ 都允许具有紧支撑的 Josefson–Nissenzweig 序列，该结论通过从 $\beta\omega \times \beta\omega$ 提升得到。
• 在 $K \times L$ 上此类序列的存在性意味着 $C_p(K \times L)$ 允许 $(c_0)_p$ 作为商空间，推广了 Cembranos 和 Freniche 的结果。
• 本文提供了一种直接的、测度论的证明，用于 $C(K)$-空间上的 Josefson–Nissenzweig 定理，避免了复杂的泛函分析论证。
• 通过简单扩张构造的紧致空间的逆极限允许具有紧支撑的 Josefson–Nissenzweig 序列，该结果适用于许多经典的 Efimov 空间的一致性例子。
• 该构造在 $K \times L$ 上产生了一列弱*收敛于零的具有紧支撑的测度，其范数为 1，从而保证对所有 $f \in C(K \times L)$ 有 $\lim_{n \to \infty} \int_{K \times L} f \, d\nu_n = 0$。