[论文解读] The Julia set of a post-critically finite endomorphism of PC^2

Volodymyr Nekrashevych|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文针对 $\mathbb{P}\mathbb{C}^2$ 上的一个后临界有限自同态 $ f(z,w) = \big((1 - 2z/w)^2, (1 - 2/w)^2 \big) $，利用迭代单值群与斜积结构，构建了其 Julia 集的组合模型。通过在霍布斯三脚架丛上定义折叠映射，引入多面体逼近，并证明 Julia 集是这些逼近复形的逆极限。

ABSTRACT

We construct a combinatorial model of the Julia set of the endomorphism $f(z, w)=((1-2z/w)^2, (1-2/w)^2)$ of $PC^2$.

研究动机与目标

• 为 $\mathbb{P}\mathbb{C}^2$ 上特定的后临界有限自同态构造 Julia 集的组合模型。
• 将 Julia 集描述为逼近其的三维多面复形序列的逆极限。
• 利用该映射的斜积结构，将 Julia 集建模为霍布斯三脚架的丛。
• 利用迭代单值群的群论数据，建立一种剪切-粘贴归纳构造法来逼近复形。
• 分析 Julia 集在 $w$-坐标点上的纤维，并确定其为有限树的条件。

提出的方法

• 利用映射 $f$ 的迭代单值群（IMG），并将其扩展为一个指标为二的群 $\Gamma$，以建模动力系统。
• 将 $\Gamma$ 的核构造为六个有限子群的并集，形成一个偏序集，用于构建初始单纯复形。
• 将极限空间的首次逼近定义为三个共享一个公共面的单形体，通过加倍构造以建模 Julia 集。
• 发展一种归纳的剪切-粘贴规则：每一层 $\mathcal{M}_n$ 由沿划分为 11 个区域的边界粘贴两个 $\mathcal{T}_n$ 复形构成。
• 利用 11 个边界映射 $\kappa_{g,n}$ 中的五个，将四个 $\mathcal{T}_n$ 复形粘合成 $\mathcal{T}_{n+1}$，其过程受定义 $\Gamma$ 的有限自动机引导。
• 证明 Julia 集是逼近复形 $\mathcal{M}_n$ 的逆极限，且粘合映射 $\iota_n$ 在某些点的纤维上诱导同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Julia 集在点 $w_0$ 上的纤维是有限树？
• RQ2 如何利用群论数据，对 $\mathbb{P}\mathbb{C}^2$ 上的后临界有限自同态的 Julia 集进行组合建模？
• RQ3 映射 $f$ 的迭代单值群的极限空间结构是什么？它与 Julia 集有何关系？
• RQ4 映射 $f$ 的斜积结构如何允许将 Julia 集分解为霍布斯三脚架的丛？
• RQ5 当映射 $f$ 限制在纤维上时，何时与帐篷映射或二次多项式拓扑共轭？

主要发现

• 映射 $f$ 的 Julia 集同胚于一系列三维多面复形 $\mathcal{M}_n$ 的逆极限，每个复形均通过剪切-粘贴构造逼近该集合。
• 在 $w=1$ 处的纤维 $\rho^{-1}(A')$ 是一个在映射 $p \circ \theta$ 下不变的线段，该映射作用为帐篷映射，且对应的截面 $J_1$ 拓扑共轭于映射 $z \mapsto (1-2z)^2$。
• 纤维 $\rho^{-1}(\zeta)$ 是有限树当且仅当点 $\zeta$ 在映射 $\widehat{f}(w) = (1 - 2/w)^2$ 下最终被映射到不动点 $1$。
• 当三脚架长度的轨线在映射 $F$ 下进入仅有一条非零腿的状态时，极限树枝 $\rho_\infty^{-1}(\zeta)$ 恰好为有限图。
• 逼近复形 $\mathcal{M}_n$ 通过沿具有 11 个区域的边界粘贴两个 $\mathcal{T}_n$ 复形构造而成，每个区域受一个对合映射 $\kappa_{g,n}$ 控制。
• 在最终被映射到 $w=1$ 的 $w_0$ 上的纤维上，动力系统共轭于 Ulam–von Neumann 映射，且该纤维的 Julia 集为区间 $[0,1]$。