[论文解读] The K-moment problem for continuous linear functionals

Jean B. Lasserre|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 9被引用 5

一句话总结

该论文通过在多项式空间上引入加权 ℓ₁-范数拓扑（‖·‖_w），解决了连续线性泛函在基本闭半代数集 K ⊆ ℝⁿ 上的 K-矩问题。证明了预序 P(g) 和二次模 Q(g) 在 ℓ_w 拓扑下的闭包等于在 K 上非负的多项式锥 Psd(K)，并通过在 P(g) 上的非负性及多项式有界的矩序列，刻画了 ℓ_w-连续的 K-矩泛函。

ABSTRACT

Given a closed (and non necessarily compact) basic semi-algebraic set $K\subseteq R^n$, we solve the $K$-moment problem for continuous linear functionals. Namely, we introduce a weighted $\ell_1$-norm $\ell_w$ on $R[x]$, and show that the $\ell_w$-closures of the preordering $P$ and quadratic module $Q$ (associated with the generators of $K$) is the cone $psd(K)$ of polynomials nonnegative on $K$. We also prove that $P$ an $Q$ solve the $K$-moment problem for $\ell_w$-continuous linear functionals and completely characterize those $\ell_w$-continuous linear functionals nonnegative on $P$ and $Q$ (hence on $psd(K)$). When $K$ has a nonempty interior we also provide in explicit form a canonical $\ell_w$-projection $g^w_f$ for any polynomial $f$, on the (degree-truncated) preordering or quadratic module. Remarkably, the support of $g^w_f$ is very sparse and does not depend on $K$! This enables us to provide an explicit Positivstellensatz on $K$. At last but not least, we provide a simple characterization of polynomials nonnegative on $K$, which is crucial in proving the above results.

研究动机与目标

• 解决非紧致基本半代数集 K ⊆ ℝⁿ 上的 K-矩问题，其中经典方法因在最细局部凸拓扑下缺乏稠密性而失效。
• 通过用加权 ℓ₁-范数拓扑（‖·‖_w）替代最细局部凸拓扑，克服 Scheiderer 的负面结果带来的限制，该拓扑能更好地捕捉矩序列。
• 刻画在 P(g) 和 Q(g) 上非负的 ℓ_w-连续线性泛函，从而在新的拓扑框架下解决 K-矩问题。
• 通过构建多项式在 P_d(g) 和 Q_d(g) 上的稀疏 ℓ_w-投影，为非紧致 K 提供显式的 Positivstellensatz。

提出的方法

• 通过正权序列 w: ℕⁿ → ℝ>₀ 在 ℝ[x] 上引入加权 ℓ₁-范数 ‖·‖_w，定义多项式空间上的拓扑。
• 证明预序 P(g) 和二次模 Q(g) 在 ℓ_w 拓扑下的闭包等于在 K 上非负的多项式锥 Psd(K)。
• 刻画 ℓ_w-连续线性泛函 L_y 为 K-矩泛函的充要条件：对所有 h ∈ ℝ[x] 和 K 的生成元 g_j，有 L_y(h²g_j) ≥ 0，且存在 M > 0 使得 |y_α| ≤ M w_α。
• 当 K 的内部非空时，定义多项式 f 到 P_d(g) 和 Q_d(g) 的典范 ℓ_w-投影 g^w_f(d)，其支集与 K 无关且极为稀疏。
• 利用 ℓ_w-投影导出显式 Positivstellensatz：f ≥ 0 在 K 上当且仅当对任意 ε > 0，存在 d 使得 f + ε(1 + ∑_{i=1}^n ∑_{k=1}^d x_i^{2k}/(2k)!) ∈ P(g)。
• 证明当 f 非负且矩序列增长缓慢时，f dμ 的矩序列满足 Carleman 条件，从而确保表示测度的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非紧致 K 上，使用非最细局部凸拓扑解决 K-矩问题？
• RQ2 对于基本闭半代数集，P(g) 和 Q(g) 的 ℓ_w 闭包是否等于 Psd(K)？
• RQ3 哪些特征刻画了 ℓ_w-连续且为 K-矩泛函的线性泛函？
• RQ4 能否在 ℓ_w-范数下显式构造多项式在 P_d(g) 和 Q_d(g) 上的稀疏投影？
• RQ5 能否基于 ℓ_w-投影构造非紧致 K 的显式 Positivstellensatz？

主要发现

• P(g) 和 Q(g) 在 ℓ_w 拓扑下的闭包恰好等于在 K 上非负的多项式锥 Psd(K)。
• 线性泛函 L_y 是 ℓ_w-连续的 K-矩泛函，当且仅当对所有 h ∈ ℝ[x]、所有生成元 g_j，有 L_y(h²g_j) ≥ 0，且存在 M > 0 使得 |y_α| ≤ M w_α。
• 当 K 的内部非空时，多项式 f 到 P_d(g) 或 Q_d(g) 的典范 ℓ_w-投影 g^w_f(d) 的支集与 K 无关且极为稀疏。
• 投影 g^w_f(d) 可显式计算，且满足 lim_{d→∞} ‖f − g^w_f(d)‖_w = 0，确保在 ℓ_w-范数下收敛。
• 多项式 f 在 K 上非负，当且仅当对任意 ε > 0，存在 d 使得 f + ε(1 + ∑_{i=1}^n ∑_{k=1}^d x_i^{2k}/(2k)!) ∈ P(g)，从而给出构造性 Positivstellensatz。
• 任何在 K 上的有限 Borel 测度 μ 的矩序列，若 fμ 非负且矩序列增长缓慢，则满足 Carleman 条件，从而确保表示测度的唯一性。