[论文解读] The k-secant lemma and the general projection theorem

Laurent Gruson, Christian Peskine|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 1

一句话总结

本文研究了嵌入在 ℝ_N 中的光滑拟射影概族 X ⊂ ℝ_N 上，参数化对齐的、有限的、总次数为 ∑k_i 的子概形的 Hilbert 概形的奇异点集。通过分析期望维数 2N−2+r−(∑k_i)(N−n)，证明了在 Hilbert 概形未达到预期维数的点处，其连线不充满 ℝ_N，从而建立了奇异点集的一个关键几何约束。

ABSTRACT

Let X be a smooth, connected, dimension n, quasi-projective variety imbedded in \PP_N. Consider integers {k_1,...,k_r}, with k_i>0, and the Hilbert Scheme H_{k_1,...,k_r}(X) of aligned, finite, degree \sum k_i, subschemes of X, with multiplicities k_i at points x_i (possibly coinciding). The expected dimension of H_{k_1,...,k_r}(X) is 2N-2+r-(\sum k_i)(N-n). We study the locus of points where H_{k_1,...,k_r}(X) is not smooth of expected dimension and we prove that the lines carrying this locus do not fill up \PP_N

研究动机与目标

• 理解参数化具有指定重数的 X 上有限对齐子概形的 Hilbert 概形 H_{k_1,...,k_r}(X) 的结构。
• 分析该 Hilbert 概形未达到预期维数的光滑性的点的集合。
• 确定通过此类奇异点的直线是否充满其周围射影空间 ℝ_N。
• 通过投影与维数理论论证，建立 Hilbert 概形奇异点集的几何约束。

提出的方法

• 本文考虑嵌入在 ℝ_N 中的光滑、连通、n 维拟射影概族 X 上的有限、总次数为 ∑k_i 的子概形的 Hilbert 概形 H_{k_1,...,k_r}(X)。
• 基于形变理论的期望，计算出 H_{k_1,...,k_r}(X) 的期望维数为 2N−2+r−(∑k_i)(N−n)。
• 研究 Hilbert 概形未达到此期望维数的光滑性的奇异点集。
• 利用几何与维数理论论证，考察通过该奇异点集中点的直线。
• 证明这些直线不充满 ℝ_N，意味着奇异点集包含于 ℝ_N 的一个真子概形中。
• 该论证依赖于 X 的几何、Hilbert 概形的性质，以及射影空间中弦线行为之间的相互作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 H_{k_1,...,k_r}(X) 的奇异点集是否张成周围射影空间 ℝ_N？
• RQ2 H_{k_1,...,k_r}(X) 未达到预期维数的光滑性点处的直线并集的维数是多少？
• RQ3 期望维数公式 2N−2+r−(∑k_i)(N−n) 如何约束 Hilbert 概形的几何结构？
• RQ4 Hilbert 概形是否可能在某些点处不光滑，而其弦线却充满 ℝ_N？
• RQ5 何种几何障碍阻止奇异点集在 ℝ_N 中稠密？

主要发现

• Hilbert 概形 H_{k_1,...,k_r}(X) 的期望维数为 2N−2+r−(∑k_i)(N−n)。
• H_{k_1,...,k_r}(X) 未达到预期维数的光滑性点的集合在 ℝ_N 中不稠密。
• 通过该奇异点集内点的直线不充满周围射影空间 ℝ_N。
• 这意味着奇异点集包含于 ℝ_N 的一个真子概形中，施加了强烈的几何约束。
• 该结果通过证明奇异点集无法通过弦线支配 ℝ_N，建立了一般投影定理。
• 利用 k-secant 引理控制奇异点处弦线的维数，从而得出其不充满的结论。