[论文解读] The K-theory of symplectic quotients

Megumi Harada, Gregory D. Landweber|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 1

一句话总结

本文通过计算酉群作用下等变K-理论 $K^*_G(M)$ 到其辛商空间的普通K-理论 $K^*(M//G)$ 的满射的核，建立了Tolman与Weitsman关于Borel等变上同调工作的K-理论类比。利用阿贝尔群的Morse理论方法，并通过K-理论类比Martin的有理上同调结果将非阿贝尔情形约化为阿贝尔情形，本文在适当的轨道分层条件下，为哈密顿 $T$-空间建立了Goresky-Kottwitz-MacPherson型的组合描述，从而计算出作为 $\mathbb{C}^N$ 的线性环面作用下辛商的光滑紧致环面簇的 $K^*$。

ABSTRACT

ABSTRACT. Let G be a compact connected Lie group and (M, ω) a Hamiltonian G-space. In a previous paper, the authors showed that the equivariant K-theory of the manifold M surjects onto the ordinary integral K-theory of the symplectic quotient M//G, under certain technical conditions on µ. In this paper, we give a method for computing the K-theory of M//G by obtaining an explicit description of the kernel of the surjection κ: K ∗ G(M) ։ K ∗ (M//G). Our results are K-theoretic analogues of the work of Tolman and Weitsman for Borel-equivariant cohomology. We first obtain a description of the kernel of κ in the case when G = T is abelian by Morse-theoretic methods. We then use our K-theoretic analogue of a result of Martin in Borel-equivariant rational cohomology to reduce the non-abelian case to the abelian case. Further, in the abelian case, we prove that under suitable technical conditions on the T-orbit stratification of M, there is an explicit Goresky-Kottwitz-MacPherson (“GKM”) type combinatorial description of the K-theory of a Hamiltonian T-space in terms of fixed point data. Finally, we illustrate our methods by computing the ordinary K-theory of smooth compact toric varieties, which arise as symplectic quotients of an affine space C N by a linear torus action. CONTENTS

研究动机与目标

• 发展Tolman与Weitsman关于辛商上同调结果的K-理论类比。
• 刻画哈密顿 $G$-空间下满射 $\kappa: K^*_G(M) \twoheadrightarrow K^*(M//G)$ 的核。
• 通过约化技术将 $K^*(M//G)$ 的计算从阿贝尔群推广至非阿贝尔紧致李群。
• 在适当的轨道分层条件下，为哈密顿 $T$-空间建立 $K^*$ 的GKM型组合描述。
• 将该框架应用于计算作为 $\mathbb{C}^N$ 的辛商的光滑紧致环面簇的普通K-理论。

提出的方法

• 利用Morse理论方法，在 $G = T$ 为环面时描述满射 $\kappa$ 的核。
• 应用Borel等变有理上同调中Martin结果的K-理论类比，将非阿贝尔情形约化为阿贝尔情形。
• 基于固定点数据，为 $G = T$ 为阿贝尔群时的 $K^*(M//G)$ 构造Goresky-Kottwitz-MacPherson型的组合模型。
• 利用 $M$ 的 $T$-轨道分层定义参数化 $K^*$-类的组合数据。
• 将该框架应用于 $\mathbb{C}^N$ 上线性环面作用的情形，从而对光滑紧致环面簇给出显式计算。
• 建立满射 $\kappa: K^*_T(M) \twoheadrightarrow K^*(M//T)$，并利用局部化与分层数据描述其核。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哈密顿 $G$-空间 $M$，满射 $\kappa: K^*_G(M) \twoheadrightarrow K^*(M//G)$ 的核是什么？
• RQ2 在阿贝尔情形下，如何利用Morse理论技术显式描述K-理论核？
• RQ3 在Borel等变有理上同调中，允许从非阿贝尔群约化到阿贝尔群的K-理论类比Martin结果是什么？
• RQ4 在何种条件下，哈密顿 $T$-空间的 $K^*(M//G)$ 拥有Goresky-Kottwitz-MacPherson型的组合描述？
• RQ5 该框架如何应用于计算光滑紧致环面簇的普通K-理论？

主要发现

• 在阿贝尔情形下，利用Morse理论方法，显式描述了满射 $\kappa: K^*_T(M) \twoheadrightarrow K^*(M//T)$ 的核。
• K-理论类比Martin在有理上同调中的结果，使得能够将哈密顿 $G$-空间上非阿贝尔群作用的计算约化为阿贝尔群作用。
• 在 $T$-轨道分层满足适当条件时，哈密顿 $T$-空间的K-理论可基于固定点数据建立GKM型的组合描述。
• 通过线性环面作用在 $\mathbb{C}^N$ 上得到的光滑紧致环面簇的K-理论，借助该框架被显式计算。
• 该方法通过结合等变K-理论、分层数据与局部化技术，为 $K^*(M//G)$ 的计算提供系统性方法。
• 该框架将Tolman与Weitsman的上同调结果推广至K-理论设置，为辛商提供了新的计算工具。