[论文解读] The Kijowski--Liu--Yau quasi-local mass of the Kerr black hole horizon

Maciej Dunajski, Paul Tod|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 14被引用 1

一句话总结

该论文计算了所有自旋参数 $ j = J/m^2 \in [0,1] $ 下克尔黑洞视界处的基约夫斯基-刘-姚准局部质量，通过在 $ j > \sqrt{3}/2 $ 时采用双曲空间嵌入，克服了快速旋转黑洞中负高斯曲率的限制。质量从 $ j = 0 $ 时的 $ 2m $ 单调递减至 $ j = \sqrt{3}/2 $ 时的 $ 1.76569m $，随后增至接近 $ j \approx 0.99907 $ 处的最大值 $ 2.02223m $，再下降至极端克尔极限 $ j = 1 $ 时的 $ 2.01966m $。通过选择最大双曲半径，该方法在 $ j = \sqrt{3}/2 $ 的过渡点处确保了平均曲率与质量的连续性。

ABSTRACT

We use an isometric embedding of the cross-over surface of the outer horizon of a rapidly rotating Kerr black hole in a hyperbolic space to compute the quasi-local mass of the horizon for any allowed value of the spin parameter j = J/m 2. The mass is monotonically decreasing from twice the ADM mass at j = 0 to 1.765 69m at j=3/2 . It then monotonically increases to a maximum around j = 0.999 07, and finally decreases to 2.019 66m for j = 1 which corresponds to the extreme Kerr black hole.

研究动机与目标

• 计算所有允许的自旋参数 $ j \in [0,1] $ 下克尔黑洞视界处的基约夫斯基-刘-姚准局部质量，包括高自旋情况下高斯曲率为负的情形。
• 解决标准平直空间等距嵌入方法在 $ j > \sqrt{3}/2 $ 时失效的问题，此时视界在极区附近的高斯曲率为负。
• 通过引入双曲空间嵌入，将基约夫斯基-刘-姚准局部质量形式化方法扩展至非正曲率视界。
• 通过选择全局嵌入的最大双曲半径，确保在临界自旋 $ j = \sqrt{3}/2 $ 处平均曲率与质量的连续性。

提出的方法

• 使用上半空间模型中的度量 $ G_L = L^2 z^{-2}(dz^2 + dr^2 + r^2 d\phi^2) $，将克尔视界截面嵌入双曲3维空间 $ H^3 $，其中 $ L $ 为双曲半径。
• 利用旋转曲面假设，以坐标 $ (x, \phi) $，$ x = \cos\theta $，构造视界度量在 $ H^3 $ 中的等距嵌入，并求解 $ Z(x) $ 和 $ R(x) $ 的嵌入方程。
• 利用第二基本形式与双曲度量的列维-奇维塔联络，计算嵌入曲面在 $ H^3 $ 中的平均曲率 $ H $。
• 对于 $ j \leq \sqrt{3}/2 $，使用标准平直空间 $ \mathbb{R}^3 $ 嵌入，该方法在高斯曲率为非负时有效。
• 通过选择双曲半径 $ L $，使在 $ j = \sqrt{3}/2 $ 处的平均曲率在两种嵌入之间连续。
• 使用辛普森法则对 $ x \in [-1,1] $ 数值积分准局部质量泛函，仔细处理被积函数中平方根引起的边界奇点。

实验结果

研究问题

• RQ1 当高斯曲率为负时，如何计算克尔黑洞视界处的基约夫斯基-刘-姚准局部质量，此时标准 $ \mathbb{R}^3 $ 嵌入方法失效？
• RQ2 准局部质量作为自旋参数 $ j = J/m^2 $ 的函数行为如何，特别是在 $ j > \sqrt{3}/2 $ 的快速旋转区域？
• RQ3 准局部质量是否在极端克尔极限 $ j = 1 $ 附近出现最大值？若存在，其值与位置为何？
• RQ4 是否可在 $ j = \sqrt{3}/2 $ 处实现平直与双曲嵌入之间的连续过渡，以确保平均曲率与质量的连续性？

主要发现

• 准局部质量从 $ j = 0 $ 时的 $ 2m $ 单调递减至 $ j = \sqrt{3}/2 $ 时的 $ 1.76569m $，与 $ \mathbb{R}^3 $ 中的标准基约夫斯基-刘-姚形式化一致。
• 对于 $ j > \sqrt{3}/2 $，质量从 $ 1.76569m $ 单调递增，于 $ j \approx 0.99907 $ 处达到最大值 $ 2.02223m $，表明其对自旋的依赖关系非单调。
• 质量在极端克尔极限 $ j = 1 $ 处下降至 $ 2.01966m $，证实最大值出现在接近极端性时。
• 选择最大双曲半径 $ L $ 确保了在临界自旋 $ j = \sqrt{3}/2 $ 处平均曲率与结果质量的连续性，验证了混合嵌入方法的有效性。
• 数值收敛性测试表明精度极高：将分辨率从 500 提高至 10,000 点不会改变质量的前六位有效数字；在 $ j = 1 $ 附近收敛缓慢，原因在于被积函数中存在不可微的平方根。
• 结果与王-姚方法一致，后者也表明 $ j > \sqrt{3}/2 $ 时质量增加，但本方法独特地揭示了 $ j \approx 0.99907 $ 附近的全局最大值，而王-姚方法未能识别该点。