[论文解读] The Killing tensors on an $n$ -dimensional manifold with $SL(n, R)$-structure

С. Е. Степанов, Irina Tsyganok|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文解决了在赋予等仿射 $SL(n,\mathbb{R})$-结构的 $n$-维可微流形上，求解确定 Killing 张量方程的积分问题。研究结果表明，在具有非零常数截面曲率的伪黎曼流形上，$p$ 阶 Killing 张量具有显式局部分量表达式，其形式包含度量行列式的指数因子和反对称常数，推广了黎曼几何中的已知结果，并为基于曲率的对称结构提供了仿射类比。

ABSTRACT

In this paper we solve the problem of finding integrals of equations determining the Killing tensors on an $n$ -dimensional differentiable manifold $M$ endowed with an equiaffine $ SL(n, R) $ -structure and discuss possible applications of obtained results in Riemannian geometry.

研究动机与目标

• 确定赋予等仿射 $SL(n,\mathbb{R})$-结构的 $n$-维流形上，定义 Killing 张量方程的积分。
• 通过 $SL(n,\mathbb{R})$-结构，将黎曼几何中关于 Killing 张量的已知结果推广至仿射几何设置。
• 表征常曲率流形上共形 Killing 张量的结构，并将其分解为 Killing-Yano 张量与闭共形 Killing 张量。
• 建立常曲率空间中经典 Killing 向量场结果的仿射类比，推广至高阶张量。

提出的方法

• 利用曲率张量在 $SL(n,\mathbb{R})$ 下的不变分解为 Ricci 部分与 Weyl 投影部分，将等仿射结构分类为 Ricci 平坦或等投影结构。
• 应用共脐向量场及其通过 Ricci 恒等式导出的可积性条件，表征等投影联络。
• 通过选取使度量行列式表示为 $\psi = [2(n+1)]^{-1}\ln|\det g|$ 的坐标系，推导出 Killing 张量的局部分量表达式，从而实现显式参数化。
• 采用共形 Killing 张量分解为 Killing-Yano 张量与闭共形 Killing 张量的方法，其中后者由前者协变导数导出。
• 在常曲率流形上使用 Christoffel 符号公式 $\Gamma^k_{ij} = \psi_i \delta^k_j + \psi_j \delta^k_i$ 简化张量分量表达式。
• 应用 [St 1]、[St 3] 和 [St 5] 中的已知结果，构建共形 Killing 张量（$p \geq 2$）的统一框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 在赋予等仿射 $SL(n,\mathbb{R})$-结构的 $n$-维流形上，Killing 张量的一般形式是什么？
• RQ2 在具有非零常数截面曲率的伪黎曼流形上，Killing 张量如何分解为 Killing-Yano 张量与闭共形 Killing 张量？
• RQ3 在常曲率流形上，共形 Killing 张量（$p$ 阶）的显式局部分量表达式是什么？
• RQ4 $SL(n,\mathbb{R})$-结构如何影响仿射几何中 Killing 张量的存在性与形式？
• RQ5 常曲率黎曼几何中 Killing 向量场结构的仿射类比能否推广至高阶张量？

主要发现

• 在 $n$-维伪黎曼流形上，若其具有非零常数截面曲率 $C$，则任意 Killing 向量场 $\omega$ 的局部分量为 $\omega_i = e^{2\psi}(A_{ik}x^k + B_i)$，其中 $\psi = [2(n+1)]^{-1}\ln|\det g|$，$A$ 为反对称张量，$B$ 为常数张量。
• 此类流形上共形 Killing 张量空间 $\mathbf{C}^p(M,\mathbb{R})$ 唯一分解为 $\mathbf{K}^p \oplus \mathbf{P}^p$，其中 $\mathbf{K}^p$ 为 Killing-Yano 张量空间，$\mathbf{P}^p$ 为闭共形 Killing 张量空间。
• 阶数为 $p$ 的 Killing-Yano 张量 $\omega$ 的分量为 $\omega_{i_1\dots i_p} = e^{(p+1)\psi}(A_{ki_1\dots i_p}x^k + B_{i_1\dots i_p})$，其中 $A$ 与 $B$ 为任意反对称常数张量。
• 阶数为 $p$ 的闭共形 Killing 张量 $\theta$ 满足 $\theta_{i_1\dots i_p} = -\frac{1}{C}e^{p\psi}(\psi_{[i_1}C_{|k|i_2\dots i_p]}x^k + \psi_{[i_1}D_{i_2\dots i_p]} + \frac{1}{p}C_{i_1\dots i_p})$，其中 $C$ 与 $D$ 为反对称常数张量。
• 阶数为 $p$ 的完整共形 Killing 张量 $\vartheta$ 由 Killing-Yano 与闭共形 Killing 张量分量之和给出，从而以指数因子与反对称常数张量的形式实现了完全参数化。
• 在等仿射 $SL(n,\mathbb{R})$-结构下，连接与曲率的结构保证：Weyl 投影曲率张量当且仅当存在 $n$ 个线性无关的共脐向量场时为零，从而表征了等投影结构。