[论文解读] The Kodaira dimension of spaces of rational curves on low degree hypersurfaces

Jason Starr|ArXiv.org|May 29, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 15

一句话总结

本文研究了 Kontsevich 模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ 的奇点与 Kodaira 维数，该空间参数化在一般超曲面 $X \subset \mathbb{P}^n$ 上次数为 $d$ 的有理曲线。在条件 $d + e \leq n$ 下，本文证明这些模空间仅有典范奇点，并计算了其典范除子，表明对于大多数满足 $n \leq d^2 \leq n^2$ 的 $(d,e)$，其典范除子为大除子，暗示在某一猜想下，其粗模空间为一般型。

ABSTRACT

For a hypersurface in complex projective space $X\subset \PP^n$, we investigate the singularities and Kodaira dimension of the Kontsevich moduli spaces $\Kbm{0,0}{X,e}$ parametrizing rational curves of degree $e$ on $X$. If $d+e \leq n$ and $X$ is a general hypersurface of degree $d$, we prove that $\Kbm{0,0}{X,e}$ has only canonical singularities and we conjecture the same is true for the coarse moduli space $\kbm{0,0}{X,e}$.This investigation is motivated by the question of which Fano hypersurfaces are unirational.

研究动机与目标

• 确定 Kontsevich 模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ 在一般超曲面 $X \subset \mathbb{P}^n$ 上次数为 $d$ 的有理曲线上的奇点与 Kodaira 维数。
• 在条件 $d + e \leq n$ 下，研究 $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ 是否具有典范奇点，以扩展对 $d=1,2$ 时已知结果的推广。
• 计算 $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ 的典范除子，并确定其为大除子的条件，以指示潜在的一般型行为。
• 将这些几何性质与 Fano 超曲面的有理同构性问题联系起来，特别是通过 Kollár 的准则，该准则涉及有理曲面。

提出的方法

• 通过形变理论与交集理论分析模堆栈 $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ 上稳定映射的全族。
• 应用局部完整交堆栈与半正规化理论研究奇点与除子类。
• 使用由全族曲线与到 $X$ 的态射的几何导出的典范丛公式，涉及边界除子 $\mathcal{D}_{i,j}$ 与 $\mathbb{Q}$-除子 $\mathcal{H}$。
• 利用 $a$-正规性与稳定映射的双有理性来控制除子类的拉回，并建立大除子性。
• 依赖 Kollár 与 Shokurov 的邻接反向猜想，将奇点问题归约为一个猜想框架。
• 应用 [15] 与 [16] 中关于维数与有理连通性的结果，以约束 $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ 在低次情形下的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $d \leq n-2$ 且 $X$ 为次数 $d$ 的一般超曲面时，$\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ 具有何种奇点？
• RQ2 在何种 $(n,d,e)$ 条件下，$\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ 的典范除子为大除子，指示潜在的一般型行为？
• RQ3 粗模空间 $\overline{M}_{0,0}(X,e)$ 是否继承堆栈 $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ 的典范奇点与大除子性？
• RQ4 在条件 $d+e \leq n$ 下，$\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ 的典范除子如何表现，这对 Kodaira 维数有何含义？
• RQ5 若邻接反向猜想成立，能否利用典范除子的大除子性推断出 $\overline{M}_{0,0}(X,e)$ 为一般型？

主要发现

• 当 $d + e \leq n$ 且 $e \geq 2$ 时，模堆栈 $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ 仅有典范奇点，如引理 7.6 所示。
• 对于满足 $n \leq d^2 \leq n^2$ 的大多数 $(d,e)$ 对，$\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ 的典范除子为大除子，尤其当 $d < \min(n-3, \frac{n+1}{2})$ 且 $d^2 \geq n+2$ 时，对大 $e$ 成立。
• 当 $d < \min(n-6, \frac{n+1}{2})$ 且 $d^2 + d \geq 2n+2$ 时，对所有 $e > 0$（包括 $e=2$ 与 $e \geq 3$），典范除子为大除子。
• 在条件 $d+e \leq n$ 下，当 $e \geq 3$ 或 $e=2$ 且 $d+3 \leq n$ 时，若邻接反向猜想成立，则典范除子为大除子。
• 当 $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(X,e)$ 的典范除子为大除子，且堆栈到空间的映射在余维数 2 上为同构时，粗模空间 $\overline{M}_{0,0}(X,e)$ 被猜想为一般型。
• 当每个几何一般点参数化一个双有理稳定映射时，$\mathbb{Q}$-除子类 $\mathcal{H}$ 的拉回为基点自由且大除子，如引理 10.9(1) 所证。