[论文解读] The Kruskal-Katona Theorem for Graphs

Robert Cowen|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用 1

一句话总结

本文通过识别在固定 Kr 子图数量下 Ks 子图数量上界达到紧致性的新条件，扩展了图的 Kruskal-Katona 定理。它引入了一种基于完整图添加或移除顶点和边的构造方法，证明当 Kr 计数的 r-典范表示满足特定二项式系数条件时，该上界可被达到，并提出了一个猜想：当 r=3，s=4 时，Turán 图 T(n, n−2) 在 K4 子图上达到紧致性上界，仅差一个。

ABSTRACT

In graph theory, knowing the number of complete subgraphs with r vertices that a graph g has, limits the number of its complete subgraphs with s vertices, for s > r. A useful upper bound is provided by the Kruskal-Katona theorem, but this bound is often not tight. In this note, we add to the known cases where this bound is tight and also investigate cases where it is not. Finally we look at a useful technique for actually finding the numbers of complete subgraphs of a graph.

研究动机与目标

• 在固定 Kr 子图数量为 x 的前提下，确定 Kruskal-Katona 对 Ks 子图数量的上界何时达到紧致性。
• 将 Bollobás 关于两系数项 r-典范表示紧致性的结果扩展至包含三项的 r-典范表示情形。
• 研究通过从完整图中移除边形成的图中 Kruskal-Katona 上界之紧致性，特别是 Turán 图 T(n, n−2)。
• 提供在特定条件下构造可实现 Kruskal-Katona 上界的图的构造方法。
• 探索使用 (s−1)-核心剪枝技术以提高大规模图中 Ks 子图计数的计算效率。

提出的方法

• 使用整数 x 的 r-典范表示来表达 Kr 子图的数量，定义为下标递减的二项式系数之和。
• 通过在 x 的 r-典范表示中将 r 替换为 s，应用 Kruskal-Katona 上界 [x]_r^s。
• 通过将外部顶点连接到 Kn 的 m 个顶点和 w 个顶点，构造图，确保 Kr 计数匹配 x，且 Ks 计数匹配 [x]_r^s。
• 通过证明所构造图达到该上界且无法实现更大的 Ks 计数，从而证明紧致性。
• 分析通过从 Kn 中移除两条不相邻边形成的 Turán 图 T(n, n−2)，精确计算 K3 和 K4 子图的数量。
• 采用 (s−1)-核心剪枝技术，在保留所有 Ks 子图的同时减小图的规模，从而实现更高效的计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 Kr 子图数量固定为 x 时，Ks 子图的 Kruskal-Katona 上界在何种条件下达到紧致性？
• RQ2 Bollobás 关于两系数项 r-典范表示的紧致性结果能否推广至三系数项表示？
• RQ3 当 x = (n 选 3) − 2(n−2)，即在 Turán 图 T(n, n−2) 中，K4 子图的 Kruskal-Katona 上界是否达到紧致性？
• RQ4 当 x = (n 选 3) − 2(n−2) 时，k4(k3 ≤ x) 的精确值是多少，它与 Kruskal-Katona 上界相差多远？
• RQ5 (s−1)-核心剪枝技术如何提升大规模图中 Ks 子图计数的效率？

主要发现

• 当 x 的 r-典范表示包含三项，且满足 (t 选 r−2) = (w 选 r−1)，且 s−2 > t 与 s−1 > w 时，Kruskal-Katona 上界达到紧致性。
• 对于 x = (n 选 r) + (m 选 r−1) + (t 选 r−2)，若 (t 选 r−2) = (w 选 r−1) 且 s−2 > t，s−1 > w，则 ks(kr ≤ x) = (n 选 s) + (m 选 s−1)，达到上界。
• 在 Turán 图 T(n, n−2) 中，当 x = (n 选 3) − 2(n−2) 时，K4 子图的数量恰好比 Kruskal-Katona 上界少一个，表明该上界几乎紧致。
• 在 T(n, n−2) 中，K5 子图的实际计数比 Kruskal-Katona 上界少 (n−5) 个，表明对更高 s 值存在系统性差距。
• (s−1)-核心剪枝方法可保留所有 Ks 子图，并线性减小图的规模，从而提升子图计数的计算效率。
• 本文猜想：当 n > 6 时，若 x = (n 选 3) − 2(n−2)，则 k4(k3 ≤ x) = [x]_3^4 − 1，意味着该情况下上界仅差一个。