[论文解读] The Kuranishi-space of complex parallelisable nilmanifolds

Sönke Rollenske|ArXiv.org|Mar 13, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文研究复平行化幂零流形的 Kuranishi 空间，表明尽管其形变空间由有界次数的多项式方程定义（至多为幂零类），但其几乎总是奇异的——这与卡拉比-丘流形中所见的光滑性预期相矛盾。关键贡献在于证明形变的障碍可为高阶次，甚至超过二次，表明 Tian-Todorov 定理不适用于此类幂零流形。

ABSTRACT

We show that the deformation space of complex parallelisable nilmanifolds can be described by polynomial equations but is almost never smooth. This is remarkable since these manifolds have trivial canonical bundle and are holomorphic symplectic in even dimension. We describe the Kuranishi space in detail in several examples and also analyse when small deformations remain complex parallelisable

研究动机与目标

• 研究复平行化幂零流形的 Kuranishi 空间结构，其为复幂零李群的紧致商空间。
• 确定这些流形尽管具有平凡的 canonical bundle 且在偶数维下为全纯辛流形，是否能像卡拉比-丘流形一样实现无阻碍形变。
• 分析小形变在何种情况下保持复平行化结构。
• 构造显式例子，表明 Kuranishi 空间为奇异且非由二次方程定义，从而表明存在高阶障碍。

提出的方法

• 使用 Kuranishi 的形变理论，通过 Hermite 度量和 Maurer-Cartan 方程的显式解构造 Kuranishi 空间。
• 分析依赖于 Dolbeault 上同调及 $ H^1(X, \Theta_X) $ 的计算，以描述一阶形变。
• 论文采用 Schouten 李括号并迭代求解 Maurer-Cartan 方程，以计算高阶障碍。
• 利用左不变微分形式和李代数上的复结构，对形变问题进行代数建模。
• 在低维（4 和 5 维）及一个 7 维非平行化例子中进行显式计算，以说明一般理论。
• 论文构造了一个 7 维幂零流形，其具有左不变复结构但非交换，并证明在第三度数存在非零障碍。

实验结果

研究问题

• RQ1 复平行化幂零流形的 Kuranishi 空间是否总是光滑的，如同卡拉比-丘情形一样？
• RQ2 Kuranishi 空间能否由多项式方程描述，这些方程的最大次数是多少？
• RQ3 是否存在高阶障碍（超过二次）阻碍复平行化幂零流形形变的例子？
• RQ4 在何种条件下，复平行化幂零流形的小形变仍保持复平行化结构？
• RQ5 非平行化幂零流形若具有左不变复结构，其 Kuranishi 空间是否可能为奇异且由非二次方程定义？

主要发现

• 复平行化幂零流形的 Kuranishi 空间由次数至多为 $ \nu $ 的多项式方程定义，其中 $ \nu $ 为李群的幂零类。
• Kuranishi 空间几乎从不光滑，与卡拉比-丘流形的预期相矛盾，表明 Tian-Todorov 定理不适用于此类流形。
• 在 7 维例子中，第三度数出现非零障碍，证明 Kuranishi 空间非由二次方程定义。
• 第三度数的障碍源于一个非恰当的 $ \overline{\partial} $-闭 $ (0,1) $-形式，取值于全纯切丛。
• 通过显式计算 Schouten 括号与 Maurer-Cartan 方程，证明该障碍非平凡。
• 结果表明，即使 canonical bundle 为平凡且流形在偶数维下为全纯辛流形，形变空间仍可能为奇异。