[论文解读] The $L^p$ boundedness of wave operators for Schrödinger operators with threshold singularities II. Even dimensional case

Domenico Finco, Kenji Yajima|ArXiv.org|May 10, 2006

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用 16

一句话总结

本文在偶数维 $m \geq 6$ 下，针对满足特定条件的势 $V$ 及谱类型（一般型或例外型），建立了薛定谔算符 $H = -\Delta + V$ 的波算符 $W_{\pm}$ 的 $L^p$ 有界性。在一般条件下，证明了 $W_{\pm}$ 在 $1 \leq p \leq \infty$ 上关于 $L^p$ 和索伯列夫空间 $W^{k,p}$ 有界；在例外条件下，有界范围受限于 $m/(m-2) < p < m/2$，方法基于预解式估计与振荡积分的分部积分法。

ABSTRACT

In this paper we consider the wave operators $W_{\pm}$ for a Schrödinger operator $H$ in ${\bf{R}}^n$ with $n\geq 4$ even and we discuss the $L^p$ boundedness of $W_{\pm}$ assuming a suitable decay at infinity of the potential $V$. The analysis heavily depends on the singularities of the resolvent for small energy, that is if 0-energy eigenstates exist. If such eigenstates do not exist $W_{\pm}: L^p o L^p$ are bounded for $1 \leq p \leq \infty$ otherwise this is true for $ \frac{n}{n-2} &lt; p &lt; \frac{n}{2} $. The extension to Sobolev space is discussed.

研究动机与目标

• 在具有阈值奇点的偶数维空间中，建立薛定谔算符的波算符 $W_{\pm}$ 的 $L^p$ 有界性。
• 根据薛定谔算符为一般型或例外型，确定 $W_{\pm}$ 在 $L^p$ 和索伯列夫空间 $W^{k,p}$ 上有界的 $p$ 的范围。
• 将先前关于 $L^p$ 有界性的结果推广至偶数维 $m \geq 6$，尤其在势 $V$ 的衰减速率与正则性假设更弱的条件下。
• 分析谱类型（一般型与例外型）在决定 $W_{\pm}$ 有界范围中的作用，特别是与色散估计和时间衰减的关系。

提出的方法

• 利用交错性质 $f(H)P_{\rm ac} = W_{\pm} f(H_0) W_{\pm}^*$，将自由预解式 $R_0(\lambda)$ 的有界性性质转移到波算符 $W_{\pm}$。
• 在 $L^p$ 和索伯列夫空间中使用预解式估计，证明对大的负 $\lambda$，有 $R(\lambda)^n \in \mathcal{B}(L^p, W^{2n,p})$ 且 $R(\lambda)^{n+1/2} \in \mathcal{B}(L^p, W^{2n+1,p})$。
• 对涉及扰动核 $T_\pm(\lambda,x,y)$ 的振荡积分进行最多 $s \leq (m+2)/2$ 次分部积分，利用衰减估计 $|\partial_\lambda^s T_\pm(\lambda,x,y)| \leq C_{ns} \lambda^{-3} \langle x\rangle^{-(m-1)/2} \langle y\rangle^{-(m-1)/2}$。
• 通过在 $\langle |x| \pm |y| \rangle^{-(m+2)/2}$ 上的逐点衰减估计，建立所得积分核 $\tilde{\Omega}_{n+1}(x,y)$ 的可容许性。
• 通过归纳法证明 $R(\lambda)^n$ 将 $L^p$ 映射到 $W^{2n,p}$，并将 $W^{1,p}$ 映射到 $W^{2n+1,p}$，依赖于预解式方程 $R(\lambda) = R_0(\lambda) - R_0(\lambda) V R(\lambda)$。
• 利用波算符 $W_{\pm}$ 通过交错恒等式与预解式交换的性质，从预解式幂的有界性推导出其在索伯列夫空间上的有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在偶数维 $m \geq 6$ 下，当 $H$ 为一般型时，波算符 $W_{\pm}$ 在 $L^p(\mathbb{R}^m)$ 上有界的 $p$ 的范围是什么？
• RQ2 波算符 $W_{\pm}$ 在 $W^{k,p}$ 空间上的有界性如何依赖于势 $V$ 的正则性与衰减速率？
• RQ3 谱类型（一般型与例外型）在决定 $W_{\pm}$ 的 $L^p$ 有界性中起什么作用，特别是在色散估计的背景下？
• RQ4 在对 $V$ 的正则性假设尽可能弱的条件下，$W_{\pm}$ 的 $L^p$ 有界性是否可推广至索伯列夫空间 $W^{k,p}$？
• RQ5 势 $V$ 的衰减速率与正则性如何影响 $W_{\pm}$ 的 $L^p$ 算子范数，特别是在 $H$ 允许零能共振的例外情形下？

主要发现

• 当 $m \geq 6$ 为偶数时，若 $V$ 满足 $|V(x)| \leq C\langle x\rangle^{-(m+2+\varepsilon)}$，$\mathcal{F}(\langle x\rangle^{2\sigma}V) \in L^{m_*}$（其中 $\sigma > (m-2)/(m-1)$），且 $H$ 为一般型，则 $W_{\pm}$ 在 $L^p(\mathbb{R}^m)$ 上对所有 $1 \leq p \leq \infty$ 有界。
• 当 $1 < p < \infty$ 时，若 $|\alpha| \leq \ell$，则 $\partial^\alpha V$ 有界，则 $W_{\pm}$ 在 $W^{k,p}(\mathbb{R}^m)$ 上对 $0 \leq k \leq \ell + 2$ 有界。
• 当 $m \geq 6$ 为偶数且 $H$ 为例外型时，若 $m=6$，则 $|V(x)| \leq C\langle x\rangle^{-(m+4+\varepsilon)}$；若 $m \geq 8$，则 $|V(x)| \leq C\langle x\rangle^{-(m+3+\varepsilon)}$，则 $W_{\pm}$ 在 $W^{k,p}(\mathbb{R}^m)$ 上对 $m/(m-2) < p < m/2$ 且 $0 \leq k \leq \ell + 2$ 有界。
• 通过归纳法利用预解式方程和对 $R(\lambda)^n$ 在 $L^p$ 与索伯列夫范数下的估计，建立了 $W_{\pm}$ 在 $W^{k,p}$ 空间上的有界性。
• 证明依赖于预解式 $R(\lambda)$ 及其幂在 $L^p$ 上的估计，表明在 $V$ 的正则性与衰减条件下，有 $R(\lambda)^n \in \mathcal{B}(L^p, W^{2n,p})$。
• 该结果改进了 [22] 对 $m \geq 6$ 的工作，因为条件 (1.2) 及 $|V(x)| \leq C\langle x\rangle^{-(m+2+\varepsilon)}$ 比 [22] 中使用的积分条件 (1.5) 更弱。