[论文解读] The $L^p$ Carleman estimate and a partial data inverse problem

Francis J. Chung, Leo Tzou|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文为有界区域上的共轭拉普拉斯算子构造了一个显式的格林函数，从而实现了 $L^p$ 卡莱曼估计，并解决了具有 $L^{n/2}$ 电势的薛定谔方程的部分数据逆问题。该方法利用热流构造一个在边界一半上具有紧支集的狄利克雷格林函数，得到了精确的 $L^p$ 和 $H^1$ 估计，并证明了柯dal隆部分数据问题的唯一性。

ABSTRACT

We construct an explicit Green's function for the conjugated Laplacian $e^{-ω\cdot x/h}Δe^{-ω\cdot x/h}$, which let us control our solutions on roughly half of the boundary. We apply the Green's function to solve a partial data inverse problem for the Schrödinger equation with potential $q \in L^{n/2}$. We also use this Green's function to derive $L^p$ Carleman estimates similar to the ones in Kenig-Ruiz-Sogge \cite{krs}, but for functions with support up to part of the boundary.

研究动机与目标

• 为 $n\geq 3$ 的有界区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 上的共轭拉普拉斯算子 $e^{-x\cdot\omega/h}h^2\Delta e^{x\cdot\omega/h}$ 构造一个显式的狄利克雷格林函数。
• 为具有非平凡边界条件（特别是在一个子集 $\Gamma\subset\partial\Omega$ 上消失）的函数推导 $L^p$ 卡莱曼估计。
• 利用构造的格林函数解决具有无界电势 $q\in L^{n/2}(\Omega)$ 的薛定谔方程的部分数据逆问题。
• 在 $L^p$ 和半经典索伯列夫空间中建立格林函数的精确算子范数界，且其依赖于小参数 $h>0$。

提出的方法

• 通过热流显式构造格林函数 $G_\Gamma$，确保在 $L^{p'}(\Omega)$ 上有 $e^{-x\cdot\omega/h}h^2\Delta e^{x\cdot\omega/h}G_\Gamma = I$。
• 使用半经典伪微分算子理论分析 $G_\Gamma$ 的算子范数，包括界 $\|G_\Gamma\|_{L^2\to H^1}\leq Ch^{-1}$ 和 $\|G_\Gamma\|_{L^{p'}\to L^p}\leq Ch^{-2}$。
• 将格林函数应用于推导在 $\Gamma^c\subset\partial\Omega$ 上消失且满足 $\partial_\nu u|_{\Gamma^c}=0$ 的函数 $u$ 的 $L^p$ 和 $L^2$ 卡莱曼估计。
• 将该方法拓展以处理 $L^{n/2}(\Omega)$ 中的无界电势，利用强唯一性延拓原理和狄利克雷问题的适定性。
• 通过混合索伯列夫范数中伪微分算子的复合估计控制参数构造中的余项。
• 通过在左侧加入 $h^{-1/p}\|\partial_\nu u\|_{L^{p'}(\Gamma)}$ 项，将边界项纳入 $L^p$ 估计中。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为共轭拉普拉斯算子构造一个显式的格林函数，使其在边界的一个子集上满足狄利克雷条件？
• RQ2 能否为具有非平凡边界条件（特别是仅观测边界的一部分时）的解推导出 $L^p$ 卡莱曼估计？
• RQ3 所构造的格林函数是否能够解决具有 $L^{n/2}$ 电势的部分数据柯dal隆问题？
• RQ4 格林函数在 $L^p$ 和半经典索伯列夫空间中的精确算子范数界是什么？
• RQ5 该方法能否扩展以在 $L^p$ 卡莱曼估计中包含边界项？

主要发现

• 格林函数 $G_\Gamma$ 满足 $e^{-x\cdot\omega/h}h^2\Delta e^{x\cdot\omega/h}G_\Gamma = I$，且将 $L^{p'}(\Omega)$ 映射到 $L^p(\Omega)$，其算子范数满足 $\|G_\Gamma\|_{L^{p'}\to L^p}\leq Ch^{-2}$。
• 格林函数还满足 $\|G_\Gamma\|_{L^2\to H^1}\leq Ch^{-1}$，从而在半经典索伯列夫空间中提供控制。
• 对于满足 $\partial\Omega$ 上消失且 $\partial_\nu u|_{\Gamma^c}=0$ 的 $u\in C^2(\overline{\Omega})$，当 $h>0$ 足够小时，卡莱曼估计 $\|u\|_{L^p(\Omega)}\leq C\|\Delta_\phi^*u\|_{L^{p'}(\Omega)}$ 成立。
• 建立了 $L^2$ 卡莱曼估计：$\|u\|_{L^2(\Omega)}\leq \frac{C}{h}\|h^2\Delta_\phi^*u\|_{H^{-1}_\Gamma(\Omega)}$。
• 解决了薛定谔方程的部分数据逆问题：若对所有 $f\in C_0^\infty(\mathbf{B})$ 有 $\Lambda_{q_1}f|\mathbf{F} = \Lambda_{q_2}f|\mathbf{F}$，则 $q_1 = q_2$，其中 $q_j\in L^{n/2}(\Omega)$。
• 该方法允许在 $L^p$ 估计中包含边界项，且 $q\in L^{n/2}$ 的正则性假设对于适定性和唯一性延拓而言是最优的。