[论文解读] The Lackadaisical Quantum Walker is NOT Lazy at all

Kun Wang, Nan Wu+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文对具有任意偷懒因子 τ 的线性上的缺乏怠惰量子行走（LQWs）进行了严格的分析研究，推导出局域化概率、峰值速度以及概率密度函数的长时间近似表达式。主要发现是，对于所有 τ > 0，LQWs 呈现弹道式扩展，方差与 t² 成正比，且令人惊讶的是，增加 τ 反而提升了扩展速度——这与经典直觉相悖，表明尽管名称为‘缺乏怠惰’，LQWs 实际上并非‘懒惰’的。

ABSTRACT

In this paper, we study the properties of lackadaisical quantum walks on a line. This model is first proposed in~\cite{wong2015grover} as a quantum analogue of lazy random walks where each vertex is attached $τ$ self-loops. We derive an analytic expression for the localization probability of the walker at the origin after infinite steps, and obtain the peak velocities of the walker. We also calculate rigorously the wave function of the walker starting from the origin and obtain a long time approximation for the entire probability density function. As an application of the density function, we prove that lackadaisical quantum walks spread ballistically for arbitrary $τ$, and give an analytic solution for the variance of the walker's probability distribution.

研究动机与目标

• 分析无限时间极限下线性缺乏怠惰量子行走（LQWs）的渐近局域化概率，针对任意偷懒因子 τ。
• 推导行走者分布中左行与右行概率波峰速度的显式表达式。
• 获得 LQWs 的完整概率密度函数的长时间近似。
• 严格证明 LQWs 呈弹道式扩展，并推导行走者位置分布方差的解析解。
• 通过证明增加 τ 会提升扩展速度，解决 LQWs 的反直觉行为，从而与经典‘懒惰行走’直觉相矛盾。

提出的方法

• 采用离散傅里叶变换分析量子行走的时间演化，并推导出原点处的极限量子态。
• 定义一组线性映射 F_j，将初始量子态变换为极限量子态，从而实现局域化概率的精确计算。
• 利用傅里叶方法推导概率密度函数的长时间近似，其包含狄拉克 δ 函数和紧支撑的连续部分。
• 通过分析动量空间中密度函数的支集，推导概率分布的波峰速度。
• 通过密度函数的二阶矩计算行走者位置分布的方差，从而得出扩展系数 c(τ, α, β) 的解析表达式。
• 解析求解方差表达式，证明 c(τ, α, β) ∈ (0,1)，且其依赖于 τ、α 和 β，从而可对扩展行为进行调控。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限时间极限下，缺乏怠惰量子行走者在原点的精确局域化概率是多少？其如何依赖于 τ 和初始量子态？
• RQ2 行走者概率分布中左行与右行波峰速度的解析表达式是什么？
• RQ3 LQW 的完整概率密度函数在渐近情况下的行为如何？其函数形式是什么？
• RQ4 缺乏怠惰量子行走是否呈弹道式扩展？如果是，其方差随时间的解析形式是什么？
• RQ5 为何增加偷懒因子 τ 会导致 LQWs 扩展更快，与经典直觉相反？

主要发现

• 在无限时间极限下，原点的局域化概率与初始量子态无关，仅依赖于偷懒因子 τ。
• 左行与右行概率波峰速度已通过解析方法推导，且依赖于 τ。
• 长时间概率密度函数由波峰速度处的狄拉克 δ 函数和一个紧支撑的连续部分组成。
• 所有缺乏怠惰量子行走均呈弹道式扩展，方差与 t² 成正比，证实了所有 τ > 0 情况下均存在弹道输运。
• 扩展系数 c(τ, α, β) 已通过解析方法推导，其值位于区间 (0,1) 内，表明增加 τ 可增强扩展速度，与经典预期相悖。
• 数值模拟结果与理论扩展系数值高度一致，验证了 c(τ, α, β) 的解析解的正确性。