[论文解读] The Lagrange-Poincaré equations for a mechanical system with symmetry on the principal fiber bundle over the base represented by the bundle space of the associated bundle

S. N. Storchak|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2016

Advanced Differential Geometry Research参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文利用庞加莱变分原理，推导了在主纤维丛上具有对称性的机械系统（其底空间为关联向量丛的全空间）的拉格朗日-泊松方程。关键贡献在于以依赖变量（由主丛的局部截面隐式定义）的形式表述，实现了与规范场论（特别是杨-米尔斯场）的直接类比，并得出与规范理论中结构相同的方程，其中相对平衡态由谱问题控制。

ABSTRACT

The Lagrange--Poincaré equations for a mechanical system which describes the interaction of two scalar particles that move on a special Riemannian manifold, consisting of the product of two manifolds, the total space of a principal fiber bundle and the vector space, are obtained. The derivation of equations is performed by using the variational principle developed by Poincaré for the mechanical systems with a symmetry. The obtained equations are written in terms of the dependent variables which, as in gauge theories, are implicitly determined by means of equations representing the local sections of the principal fiber bundle.

研究动机与目标

• 建立主纤维丛上具有对称性的机械系统的几何形式，其中底空间为关联向量丛的全空间。
• 应用庞加莱变分原理，以由丛的局部截面隐式定义的依赖变量为变量，推导运动方程。
• 通过使用受约束的非独立坐标，建立所得方程与规范场论（特别是杨-米尔斯场）之间的结构类比。
• 为研究在具有群对称性的黎曼流形上相互作用的标量粒子提供一个基础模型系统，该系统与规范场论动力学相关。
• 通过首先在有限维设置下研究机械类比，实现对场系统中相对平衡态的分析。

提出的方法

• 该系统被建模为两个在配置空间上运动的标量粒子，其中配置空间为黎曼流形（主丛的全空间）与有限维向量空间的乘积。
• 在配置空间上存在一个自由、正规、等距且光滑的紧致李群作用，该作用在黎曼流形和全空间上诱导出主纤维丛结构。
• 通过适配于对称系统与约束变量的庞加莱变分原理推导运动方程。
• 引入依赖变量作为定义主丛局部截面方程的解，类似于杨-米尔斯理论中的规范固定条件。
• 拉格朗日-泊松方程以水平与垂直分量形式表达，其中水平部分涉及投影算子 $N^{\tilde{A}}_{\tilde{B}}$ 和 $(P_{\bot})^{\tilde{A}}_{\tilde{B}}$，分别投影到水平与垂直子空间。
• 推导出水平度量 $\tilde{G}^{H}_{\tilde{A}\tilde{B}}$ 的关键恒等式与基灵关系，确保在群作用与坐标变换下的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为底空间是关联向量丛全空间的主纤维丛上具有对称性的机械系统，建立拉格朗日-泊松方程？
• RQ2 当描述对称机械系统的动力学时，由局部截面隐式定义的依赖变量起什么作用？
• RQ3 所推导的方程在结构上如何与杨-米尔斯规范场论的方程相类比，特别是在相对平衡态的语境下？
• RQ4 投影算子 $N^{\tilde{A}}_{\tilde{B}}$ 与 $(P_{\bot})^{\tilde{A}}_{\tilde{B}}$ 在群作用与截面变换下的变换性质是什么？
• RQ5 水平度量 $\tilde{G}^{H}_{\tilde{A}\tilde{B}}$ 的基灵关系如何约束动力学，并确保在微分下的相容性？

主要发现

• 以定义为主丛局部截面方程解的依赖变量形式，推导出拉格朗日-泊松方程，实现了与规范场论的直接类比。
• 方程由水平与垂直分量组成，其中水平部分由投影算子 $N^{\tilde{A}}_{\tilde{B}}$ 控制，垂直部分由正交投影算子 $(P_{\bot})^{\tilde{A}}_{\tilde{B}}$ 控制，确保与丛几何的一致性。
• 在群作用与截面变换下，投影算子与度量分量的变换规律被显式推导，表明其在结构群作用下的不变性。
• 通过微分推导出水平度量 $\tilde{G}^{H}_{\tilde{A}\tilde{B}}$ 的基灵关系，确保其与群作用及联络结构的相容性。
• 系统动力学在结构群作用下保持不变，依赖变量通过 $F^A(Q^*,a)$、$\bar{D}^m_n(a)$ 与 $\check{F}^C_A$ 一致变换。
• 所得的相对平衡态方程由谱问题控制，表明存在无穷多组此类解，与杨-米尔斯场方程的结构一致。