[论文解读] The Lambda-Fleming-Viot process and a connection with Wright-Fisher diffusion

Robert Griffiths|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 3

一句话总结

本文通过将 $\Lambda$-Fleming-Viot 过程的生成元表示为带有随机线性参数的修正 Wright-Fisher 生成元，建立了该过程与 Wright-Fisher 扩散之间的新联系，从而能够通过多项式测试函数显式计算特征值与特征向量。一个关键结果是，当选择系数超过临界阈值时，以解析方法证明了基因选择下的固定必然发生。

ABSTRACT

The d-dimensional Lambda-Fleming-Viot generator acting on functions g(x), with x being a vector of d allele frequencies, can be written as a Wright-Fisher generator acting on functions g with a modified random linear argument of x induced by partitioning occurring in the Lambda-Fleming-Viot process. The eigenvalues and right polynomial eigenvectors are easy to see from this representation. The two-dimensional process, which has a one-dimensional generator, is considered in detail. A non-linear equation is found for the Green's function. In a model with genic selection a proof is given that there is a critical selection value such that if the selection coefficient is greater or equal to the critical value then fixation, when the boundary 1 is hit, has probability 1 beginning from any non-zero frequency. This is an analytic proof different from proofs by Der, Epstein and Plotkin (2011) and Foucart (2013). When fixation is not certain the fixation probability can be computed from an algorithm in the paper. An application in the infinitely-many-alleles Lambda-Fleming-Viot process is finding an interesting identity for the frequency spectrum of alleles that is based on size-biassing. The moment dual process in the Fleming-Viot process is the usual Lambda-coalescent tree back in time. The Wright-Fisher representation using a different set of polynomials g_n(x) as test functions produces a dual death process which has a similarity to the Kingman coalescent and decreases by units of one. The eigenvalues of the process are analogous to the Jacobi polynomials when expressed in terms of g_n(x), playing the role of x^n. E[g_n(X)] under the stationary distribution when there is mutation is analogous to the n th moment in a Beta distribution. There is a version g_n(X), when X and n are d-dimensional, and even an intriguing Ewens' sampling formula analogy when d tends to infinity.

研究动机与目标

• 通过修正的生成元表示法，建立 $\Lambda$-Fleming-Viot 过程与 Wright-Fisher 扩散之间的函数联系。
• 利用类似 Wright-Fisher 的框架，推导 $\Lambda$-Fleming-Viot 生成元的显式特征值与多项式特征向量表达式。
• 分析基因选择下的固定概率，证明当选择系数超过临界值时，固定以概率 1 发生。
• 将 $\Lambda$-Fleming-Viot 过程与 $\Lambda$-共祖过程之间的矩对偶性推广至高维及无限等位基因情形。
• 基于大小加权的频率谱，推导出无限等位基因 $\Lambda$-Fleming-Viot 过程中广义的 Ewens 抽样公式类比。

提出的方法

• 将 $d$ 维 $\Lambda$-Fleming-Viot 生成元表示为作用于由测度 $\Lambda$ 导出的随机变量 $W$ 构成的变换参数上的 Wright-Fisher 生成元。
• 使用多项式测试函数 $g_n(x)$ 及其多类型扩展 $g_{\bm{n}}(\bm{x})$，利用与 $\Lambda$-共祖过程对偶的死亡过程来发挥矩对偶性。
• 应用对偶关系 $\mathbb{E}_{\bm{X}(0)=\bm{x}}[h_{\bm{n}}(\bm{X}(t))] = \mathbb{E}_{\bm{N}(0)=\bm{n}}[h_{\bm{N}(t)}(\bm{x})]$ 计算期望与特征值。
• 通过涉及 $\mathbb{E}[(1-W)^{j-2}]$ 与选择参数 $\theta_i$ 的乘积公式推导平稳分布的矩，推广了 Beta 分布矩的类比。
• 构建一个具有与 $\frac{n_i}{n} \big( (n-1)\mathbb{E}[(1-W)^{n-2}] + \theta \big)$ 成比例的转移速率的对偶死亡过程，其形式类似于 Kingman 的共祖过程。
• 建立当 $d \to \infty$ 时的极限抽样公式，通过引入 $\Lambda$-共祖过程的大小加权结构，推广了 Ewens 的抽样公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $\Lambda$-Fleming-Viot 生成元表示为带有随机线性参数的修正 Wright-Fisher 生成元？
• RQ2 在此表示下，$\Lambda$-Fleming-Viot 过程的特征值与多项式特征向量为何？
• RQ3 在何种条件下，基因选择会导致 $\Lambda$-Fleming-Viot 过程中固定必然发生？
• RQ4 与 $\Lambda$-共祖过程的矩对偶性如何推广至多类型与无限等位基因模型？
• RQ5 在无限等位基因 $\Lambda$-Fleming-Viot 过程中，等位基因频率的极限抽样公式为何？

主要发现

• 可将 $\Lambda$-Fleming-Viot 生成元表示为作用于等位基因频率向量的随机线性变换上的 Wright-Fisher 生成元，从而实现特征值与特征向量的显式计算。
• 在二维情况下，推导出格林函数的非线性方程，为潜在的显式解提供了路径。
• 给出了一个解析证明：当选择系数大于或等于临界阈值时，固定以概率 1 发生，且与初始非零频率无关。
• 证明了平稳分布矩 $\mathbb{E}[g_n(X)]$ 为涉及 $\mathbb{E}[(1-W)^{j-2}]$ 与选择参数 $\theta_i$ 的各项乘积，推广了 Beta 分布矩的类比。
• 在多类型情形下，矩生成函数 $\mathbb{E}[g_{\bm{n}}(\bm{X})]$ 由从 $j=1$ 到 $n_i$ 与从 $j=1$ 到 $n$ 的乘积之比给出，其结构类似于 Ewens 的抽样公式。
• 当 $d \to \infty$ 时，抽样公式收敛至一种广义形式，其中包含 $\mathbb{E}[(1-W)^{j-2}]$，当 $W \equiv 0$ 时退化为经典的 Ewens 抽样公式。