[论文解读] The Lang-Trotter Conjecture on Average

Stephan Baier|ArXiv.org|Sep 4, 2006

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用 35

一句话总结

本文建立了关于定义在ℚ上的椭圆曲线上弗罗贝尼乌斯迹分布的朗-特罗特猜想的平均渐近公式。通过分析特征和，并对系数满足|a| ≤ A、|b| ≤ B的曲线族进行平均，证明了满足迹r的素数p ≤ x的平均数量渐近为C_r√x/log x，改进了此前对A和B范围要求的界限。

ABSTRACT

For an elliptic curve $E$ over $ atq$ and an integer $r$ let $π_E^r(x)$ be the number of primes $p\le x$ of good reduction such that the trace of the Frobenius morphism of $E/\fie_p$ equals $r$. We consider the quantity $π_E^r(x)$ on average over certain sets of elliptic curves. More in particular, we establish the following: If $A,B>x^{1/2+ε}$ and $AB>x^{3/2+ε}$, then the arithmetic mean of $π_E^r(x)$ over all elliptic curves $E$ : $y^2=x^3+ax+b$ with $a,b\in \intz$, $|a|\le A$ and $|b|\le B$ is $\sim C_r\sqrt{x}/\log x$, where $C_r$ is some constant depending on $r$. This improves a result of C. David and F. Pappalardi. Moreover, we establish an ``almost-all'' result on $π_E^r(x)$.

研究动机与目标

• 细化椭圆曲线族上弗罗贝尼乌斯迹分布的平均朗-特罗特猜想。
• 改进误差项，并减弱对族参数A和B所需大小条件的要求。
• 建立一个‘几乎全部’结果，表明在较小族中，除稀疏集合外，所有曲线均满足该猜想。
• 为如下猜想提供证据：在族上对个体常数C_{E,r}的平均趋于全局常数C_r。

提出的方法

• 使用特征和估计与图兰正规阶方法，控制曲线上π_E^r(x)的方差。
• 应用克罗内克类数H_{r,p}来计算模p下迹为r的椭圆曲线同构类的数量。
• 采用柯西-施瓦茨不等式及对乘法函数特征和的界，估计方程a_{p}(E)=r=a_{q}(E)的解数。
• 推导出主项∼C_r π_{1/2}(x)，并通过H_{r,p} ≪ p^{1/2+ε}和特征和估计控制误差项。
• 利用四次剩余特征及其相互作用的结构，处理满足a_p(E)=r的(a,b)之和。
• 应用矩法与方差控制，通过图兰方法推导出‘几乎全部’结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明在椭圆曲线族上，满足a_p(E) = r的素数p ≤ x的平均数量渐近为C_r√x/log x？
• RQ2 该平均渐近成立所需的族参数A和B的最小大小为何？
• RQ3 在族中有多大比例的曲线不满足朗-特罗特渐近？该例外集合能否被量化？
• RQ4 在族上对个体常数C_{E,r}的平均是否收敛于全局常数C_r？

主要发现

• 当A,B > x^{1/2+ε}且AB > x^{3/2+ε}时，所有满足|a| ≤ A、|b| ≤ B的椭圆曲线y² = x³ + ax + b的π_E^r(x)的平均值渐近为C_r√x/log x。
• 平均值的误差项被改进为O((1/A + 1/B)x log x + x^{5/4}log³x/√(AB) + √x/log^c x)，优于先前的界限。
• 证明了‘几乎全部’结果：当A,B > x^{1+ε}且AB < exp(exp(√x/log^c x))时，除O(AB/log^d z)条曲线外，其余所有曲线均满足|π_E^r(x) - C_r π_{1/2}(x)| ≪ √x/log^c x。
• 族上π_E^r(x)的方差被控制在O((1/A + 1/B)x² + x^{5/2}log³x/√(AB) + x/log^c x + √x log log(10AB))，确立了平均行为。
• 结果证实，族上个体常数C_{E,r}的平均趋于C_r，支持了朗-特罗特猜想。