[论文解读] The Langlands-Shahidi Method for the metaplectic group and applications

Dani Szpruch|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 40被引用 23

一句话总结

本文通过为真实表示构造局部系数和 γ-因子，将 Langlands-Shahidi 方法推广至 $\overline{Sp}_{2n}(\mathbb{F})$，即 $p$-进域 $\mathbb{F}$ 上辛群的二重覆盖——马普莱克特群。该研究建立了通过这些因子实现的诱导表示不可约性的判别准则，表明诱导表示的不可约性由 $\gamma(\overline{\sigma} \times \tau, s, \psi)$ 在 $s=0$ 处的非零性所决定，并通过局部 Langlands 对应与 theta 对应，揭示了其与 $SO_{2n+1}(\mathbb{F})$ 经典理论之间的平行关系。

ABSTRACT

I am applying the Langlands-Shahidi method to the metaplectic double cover of Sp(2n). I proved that a Whittaker model of an irreducible admissible representation of this group is unique. As a result I was able to define the local coefficients for this group. I used them to determine irreducibility of parabolic induction. I also found some connections with the representation theory of SO(2n+1). I have defined local gamma factors and proved some properties of them.

研究动机与目标

• 将原本为半单群所发展的 Langlands-Shahidi 方法推广至 $\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$，该群由于具有非平凡的中心扩张而非代数群。
• 为 $\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ 的真实表示定义并研究局部系数与 $\gamma$-因子，尤其关注在 parabolic 诱导与 Whittaker 模型的语境下。
• 利用 $\gamma$-因子与局部系数的解析性质，建立 $\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ 真实表示的 parabolic 诱导的不可约性判别准则。
• 通过局部 theta 对应与 Plancherel 测度，探索 $\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ 与 $SO_{2n+1}(\mathbb{F})$ 中 parabolic 诱导之间的联系。

提出的方法

• 本文通过 Rao 的上循环构造马普莱克特群 $\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ 作为 $Sp_{2n}(\mathbb{F})$ 的中心扩张，确保其与 Bruhat 分解、Cartan 分解及 Iwasawa 分解相容。
• 定义 $\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ 的真实 parabolic 诱导，利用 Levi 分解 $\overline{P} = \overline{M} \ltimes \mu(N)$，并研究不同诱导表示之间的交错算子。
• 显式定义并计算主系列表示的局部系数 $C_\psi^{\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}}(\overline{P_{m;k}}, s, \tau, \omega_{m}^{\prime-1})$，尤其在非阿基米德与实数情形下。
• 通过局部系数定义 $\gamma$-因子 $\gamma(\overline{\sigma} \times \tau, s, \psi)$，并证明其满足乘法性与函数方程，特别在 $SL_2$ 情形下给出显式计算。
• 应用 Knapp-Stein 维数定理分析诱导表示的结构，并利用 Whittaker 模型理论建立唯一性与不可约性。
• 通过比较局部系数与 Plancherel 测度的解析行为，建立 $\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ 与 $SO_{2n+1}(\mathbb{F})$ 之间的类比，并推测通过 theta 对应建立的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Langlands-Shahidi 方法推广至非代数群的马普莱克特群 $\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$？
• RQ2 真实表示的局部系数与 $\gamma$-因子 $\gamma(\overline{\sigma} \times \tau, s, \psi)$ 在 $\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ 上具有何种性质？
• RQ3 在何种条件下，真实超临界表示 $\overline{\sigma}$ 与自对偶表示 $\tau$ 的 parabolic 诱导 $I(\tau, \overline{\sigma})$ 是不可约的？
• RQ4 通过局部 theta 对应，$\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ 与 $SO_{2n+1}(\mathbb{F})$ 中的 parabolic 诱导之间是否存在结构性对应？
• RQ5 局部系数 $C_\psi^{\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}}(\overline{P_{m;0}}, s, \tau, \omega_{m}^{\prime-1})$ 的解析性质如何与 $SO_{2n+1}(\mathbb{F})$ 的 Plancherel 测度相关联？

主要发现

• 对于不可约超临界酉表示 $\tau$，局部系数 $C_\psi^{\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}}(\overline{P_{m;0}}, s, \tau, \omega_{m}^{\prime-1})$ 在 $s=0$ 处解析且非零，从而保证 $\gamma$-因子在该点定义良好且解析。
• 当 $\overline{\sigma}$ 为真实超临界表示且 $\tau$ 自对偶时，$I(\tau, \overline{\sigma})$ 的不可约性等价于 $\gamma(\overline{\sigma} \times \tau, 0, \psi)$ 的非零性。
• 局部系数 $C_\psi^{\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}}(\overline{P_{m;0}}, s, \tau, \omega_{m}^{\prime-1})$ 具有与 $SO_{2n+1}(\mathbb{F})$ 对应系数相同的解析性质，暗示了深层的结构性平行。
• 当 $n$ 为奇数时，诱导表示 $I(\tau)$ 不可约，此结论通过已知结果 [55] 推出的无扭诱导表示 $I^{\prime\prime}(\tau)$ 的可约性而得证。
• 本文建立了 $\overline{Sp_{2n}(\mathbb{F})}$ 与 $SO_{2n+1}(\mathbb{F})$ 中 parabolic 诱导之间的猜想对应关系，其中 $\overline{\sigma} \times \tau$ 的 $\gamma$-因子与 $SO_{2n+1}(\mathbb{F})$ 的 Plancherel 测度相匹配。
• Whittaker 模型理论被用于证明唯一性，并将 $\gamma$-因子与 Tate 理论中的标准 $\gamma$-因子相关联，尤其在 $SL_2$ 情形下。