[论文解读] The Laplace and Mellin transforms of powers of the Riemann zeta-function

Aleksandar Ivić|ArXiv.org|May 29, 2006

Analytic Number Theory Research参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文研究了临界线上黎曼ζ函数幂的拉普拉斯变换与梅林变换，为 $L_k(s)$ 和 $Χ_k(s)$ 变换建立了新界。通过将这些变换与 $|ζ(1/2 + it)|$ 的 $2k$ 阶矩联系起来，证明了 $∫_0^T |ζ(1/2 + it)|^{12} dt \ll_{ϵ} T^{2+ϵ}$，该结果在 $ϵ$ 损失范围内为最优。

ABSTRACT

This paper gives a survey of known results concerning the Laplace transform $$ L_k(s) := \int_0^\infty |ζ(1/2+ ix)|^{2k}{ m e}^{-sx}{ m d} x \qquad(k \in N, \R s > 0), $$ and the (modified) Mellin transform $$ {\cal Z}_k(s) := \int_1^\infty|ζ(1/2+ ix)|^{2k}x^{-s}{ m d} x\qquad(k\in N), $$ where the integral is absolutely convergent for $\R s \ge c(k) > 1$. Also some new results on these integral transforms of $|ζ(1/2+ ix)|^{2k}$ are given, which have important connections with power moments of the Riemann zeta-function $ζ(s)$.

研究动机与目标

• 分析拉普拉斯变换 $L_k(s) = \int_0^\infty |\zeta(1/2 + ix)|^{2k} e^{-sx} dx$ 和改进的梅林变换 $\mathcal{Z}_k(s) = \int_1^\infty |\zeta(1/2 + ix)|^{2k} x^{-s} dx$，其中 $k \in \mathbb{N}$。
• 通过渐近估计，将这些积分变换与幂矩 $I_k(T) = \int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt$ 联系起来。
• 利用谱理论与显式公式，为 $|\zeta(1/2 + it)|$ 的 $2k$ 阶矩建立新界，特别是针对 $k=6$ 的情形。
• 证明 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{12} dt \ll_{\varepsilon} T^{2+\varepsilon}$，该结果在 $ϵ$ 损失范围内为最优。

提出的方法

• 通过分部积分与 $I_k(T)$ 的界分析拉普拉斯变换 $L_k(s)$，将 $L_k(1/T)$ 与 $I_k(T)$ 联系起来。
• 结合反梅林变换与涉及 $F(s)$（光滑截断函数的梅林变换）的积分表示，使用改进的梅林变换 $\mathcal{Z}_k(s)$。
• 应用 Motohashi 的显式谱公式，特别是涉及马茨形式求和的表达式：$S_m(K;K',t) = \sum_{K < \kappa_j \leq K'} \alpha_j H_j^m(1/2) \cos(\kappa_j \log(4et/\kappa_j))$。
• 该方法依赖于对谱和 $S_m(K;K',t)$ 的 $L^2$-范数进行有界，使用 $\int_T^{2T} |S_m(K;K',t)|^2 dt \ll_{\varepsilon} T^{1+\varepsilon} K^3$（$m=1,2,3$）的估计。
• 通过部分求和与截断技术处理系数 $\kappa_j^{-3/2}$ 和 $\exp(-(\Delta \kappa_j / T)^2)$ 的衰减。
• 最终界通过在 dyadic 区间上求和获得，并利用关系式 $E_2(t) \sim \sum \alpha_j H_j^3(1/2) \kappa_j^{-3/2} \cos(\cdots)$，其中 $\int_0^T E_2^2(t) dt \ll_{\varepsilon} T^{2+\varepsilon}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 拉普拉斯变换与梅林变换 $|\zeta(1/2 + ix)|^{2k}$ 如何与黎曼ζ函数的幂矩 $I_k(T)$ 相关联？
• RQ2 能否利用 $\mathcal{Z}_k(s)$ 变换推导出 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt$ 的非平凡界？
• RQ3 目前已知的第12阶矩 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{12} dt$ 的最紧致界是什么？
• RQ4 谱理论与马茨形式的显式公式如何促进对 $|\zeta(1/2 + it)|$ 高阶矩的估计？
• RQ5 拉普拉斯变换 $L_k(s)$ 在通过拉普拉斯反演推导 $I_k(T)$ 的界方面，其适用程度如何？

主要发现

• 拉普拉斯变换 $L_k(\sigma)$ 满足 $L_k(\sigma) \ll_{\varepsilon} (1/\sigma)^{c_k + \varepsilon}$，当 $\sigma \to 0^+$ 时，这意味着 $I_k(T) \ll_{\varepsilon} T^{c_k + \varepsilon}$。
• 改进的梅林变换 $\mathcal{Z}_k(s)$ 在 $\Re(s) \geq c(k) > 1$ 时绝对收敛，并通过反梅林变换用于推导矩估计。
• 谱和 $S_m(K;K',t)$ 满足 $\int_T^{2T} |S_m(K;K',t)|^2 dt \ll_{\varepsilon} T^{1+\varepsilon} K^3$（$m=1,2,3$），这是关键的技术工具。
• 已建立界 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{12} dt \ll_{\varepsilon} T^{2+\varepsilon}$，该结果在 $ϵ$ 损失范围内为最优。
• 证明了 $\int_0^T E_2^2(t) dt \ll_{\varepsilon} T^{2+\varepsilon}$，其中 $E_2(t)$ 是四阶矩公式中的误差项，该结果蕴含了第12阶矩的界。
• 结果 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{12} dt \ll_{\varepsilon} T^{2+\varepsilon}$ 是谱和界与在 $t \sim 2^{-j}T$ 上的 dyadic 求和的推论。