[论文解读] The Large Davenport Constant II: General Upper Bounds

David J. Grynkiewicz|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2012

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文利用结构群论与组合序列分析，为有限非交换群中的大Davenport常数D(G)建立了新的通用上界。关键结果包括：D(G) ≤ d(G) + 2|G′| − 1，D(G) ≤ (3/4)|G|（适用于非循环群且非奇数阶二面体群），以及当p|(q−1)时，对阶为pq的非交换群，D(G)的精确值为2q。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite group written multiplicatively. By a sequence over $G$, we mean a finite sequence of terms from $G$ which is unordered, repetition of terms allowed, and we say that it is a product-one sequence if its terms can be ordered so that their product is the identity element of $G$. The small Davenport constant $\mathsf d (G)$ is the maximal integer $\ell$ such that there is a sequence over $G$ of length $\ell$ which has no nontrivial, product-one subsequence. The large Davenport constant $\mathsf D (G)$ is the maximal length of a minimal product-one sequence---this is a product-one sequence which cannot be partitioned into two nontrivial, product-one subsequences. The goal of this paper is to present several upper bounds for $\mathsf D(G)$, including the following: $$\mathsf D(G)\leq {ll} \mathsf d(G)+2|G'|-1, & where $G'=[G,G]\leq G$ is the commutator subgroup; \frac34|G|, & if $G$ is neither cyclic nor dihedral of order $2n$ with $n$ odd; \frac{2}{p}|G|, & if $G$ is noncyclic, where $p$ is the smallest prime divisor of $|G|$; \frac{p^2+2p-2}{p^3}|G|, & if $G$ is a non-abelian $p$-group. As a main step in the proof of these bounds, we will also show that $\mathsf D(G)=2q$ when $G$ is a non-abelian group of order $|G|=pq$ with $p$ and $q$ distinct primes such that $p\mid q-1$.

研究动机与目标

• 将大Davenport常数D(G)的理论从阿贝尔群扩展至有限非阿贝尔群。
• 建立D(G)的通用上界，改进已知结果，尤其针对非阿贝尔p-群与非循环群。
• 确定当p|(q−1)时，阶为pq的非阿贝尔群的D(G)的精确值，其中p与q为不同素数。
• 通过换位子群G′与Sylow子群，深化对D(G)在群结构方面的理解。
• 通过Davenport常数框架，为不变量理论与组合数论提供适用的工具与上界。

提出的方法

• 利用关于积为1序列与子群结构的技术引理，推导出上界D(G) ≤ d(G) + 2|G′| − 1。
• 使用归纳法与商群技术，特别是分析G/Z(G)与G/G′，将问题约化至已知情形。
• 应用Cauchy-Davenport定理及其等号成立条件，控制p-群中的子集和与积为1序列。
• 通过Miller-Moreno分类分析极小非阿贝尔群，将其约化至p-群与pq-群。
• 利用形式表示理论分析形如⟨α, τ : α^n=1, τ^m=1, ατ=τα^r⟩的群，计算m=4且r²≡−1 mod q时的D(G)。
• 借助先前工作[3]中关于循环指数-2子群与商群中Davenport常数的结果，构建递归上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限非阿贝尔群中，D(G)关于d(G)与|G′|的最优通用上界是什么？
• RQ2 是否可对所有非循环群（且不与奇数阶二面体群同构）证明D(G) ≤ (3/4)|G|？
• RQ3 当p|(q−1)时，阶为pq的非阿贝尔群的D(G)精确值是多少，其中p与q为不同素数？
• RQ4 换位子群G′的结构如何影响D(G)的取值？
• RQ5 是否可对所有非循环群证明D(G) ≤ (2/p)|G|，其中p为|G|的最小素因子？

主要发现

• 对任意有限群G，有D(G) ≤ d(G) + 2|G′| − 1，且等号成立当且仅当G为阿贝尔群。
• 对非阿贝尔p-群，有D(G) ≤ (p² + 2p − 2)/p³ |G|，且进一步可简化为D(G) ≤ (2/p)|G|。
• 对阶为pq且满足p|(q−1)的非阿贝尔群G，有D(G) = 2q，此为精确值，亦为本文核心结果。
• 对非循环群G，若其不为奇数阶2n的二面体群，则有D(G) ≤ (3/4)|G|，此为紧致上界，优于早期估计。
• 对非循环群G，有D(G) ≤ (2/p)|G|，其中p为|G|的最小素因子，且该上界对某些p-群与pq-群为紧致。
• 本文证明了当p|(q−1)时，阶为pq的非阿贝尔群有D(G) = 2q，证实了相关猜想，并扩展了关于小Davenport常数的已有结果。