[论文解读] The largest order statistics for the inradius in an isotropic STIT tessellation

Nicolas Chenavier, Werner Nagel|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2018

Point processes and geometric inequalities参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文使用泊松近似中的Chen-Stein方法研究平面内平稳各向同性STIT随机剖分中极端内切圆半径值。结果表明，当窗口大小 ρ 增大时，内切圆半径超过阈值 vρ 的单元数量的分布以总变差距离收敛于均值为 τ 的泊松分布，其中 vρ 的选取使得此类单元的期望数量等于 τ。

ABSTRACT

A planar stationary and isotropic STIT tessellation at time $t>0$ is observed in the window $W_\ ho={t^{-1}}\\sqrt{\\pi \\ \ ho}\\cdot [-\\frac{1}{2},\\frac{1}{2}]^2$, for $\ ho>0$. With each cell of the tessellation, we associate the inradius, which is the radius of the largest disk contained in the cell. Using the Chen-Stein method, we compute the limit distributions of the largest order statistics for the inradii of all cells whose nuclei are contained in $W_\ ho$ as $\ ho$ goes to infinity.

研究动机与目标

• 分析平面内平稳各向同性STIT随机剖分中最大内切圆半径值的渐近行为。
• 确定在增长窗口中，内切圆半径超过高阈值的单元数量的极限分布。
• 应用Chen-Stein方法，获得具有显式收敛速率的尾部计数泊松近似。
• 通过聚焦于具有显式分布的几何特征——内切圆半径，将极值理论扩展至STIT随机剖分。
• 研究在各向同性和平稳性条件下，泊松极限的鲁棒性，并探讨其向非各向同性及高维情形的推广。

提出的方法

• 定义一个增长的正方形窗口 $ W_{\rho} = t^{-1} \rho^{1/2} \rho^{-1/2} [-1/2, 1/2]^2 $，并进行缩放，使得单元密度为 $ \gamma_t = t^2 / \pi $。
• 将每个单元与其内切圆半径 $ R(z) $ 关联，即该单元内最大圆的半径，并利用已知结论：典型单元的内切圆半径服从参数为 $ 2t $ 的指数分布。
• 设定阈值 $ v_{\rho} = \frac{1}{2t}(\log \rho - \log \tau) $，使得在 $ W_{\rho} $ 中内切圆半径 $ > v_{\rho} $ 的单元的期望数量等于一个固定的 $ \tau > 0 $。
• 应用Chen-Stein方法，以有界总变差距离，估计超出计数 $ N_{W_{\rho}}(v_{\rho}) $ 的分布与均值为 $ \tau $ 的泊松分布之间的差异。
• 通过线过程和梯形区域的几何论证，估计远距离单元之间的依赖结构，特别是分离相邻单元的线的测度。
• 证明Chen-Stein界中的误差项在 $ \rho \to \infty $ 时趋于零，从而证明总变差距离收敛于泊松分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平面STIT随机剖分的增长窗口中，内切圆半径超过高阈值的单元数量的极限分布是什么？
• RQ2 Chen-Stein方法如何在这一空间极值设定中实现泊松近似的精确收敛速率？
• RQ3 各向同性和平稳性在STIT随机剖分中极端内切圆半径统计量的渐近行为中起多大作用？
• RQ4 该尾部计数的泊松近似能否推广至非各向同性STIT随机剖分或更高维度？
• RQ5 阈值 $ v_{\rho} $（依赖于 $ \rho $）如何确保超出计数的极限分布非退化？

主要发现

• 当 $ \rho \to \infty $ 时，窗口 $ W_{\rho} $ 中内切圆半径超过 $ v_{\rho} = \frac{1}{2t}(\log \rho - \log \tau) $ 的单元数量以总变差距离收敛于均值为 $ \tau $ 的泊松分布。
• 通过Chen-Stein方法显式界定了泊松近似的收敛速率，提供了定量的误差估计。
• STIT随机剖分中典型单元的内切圆半径服从参数为 $ 2t $ 的指数分布，这是确定阈值的关键输入。
• 证明依赖于通过梯形区域控制远距离单元之间依赖关系的几何测度，特别是通过分离线的测度。
• 超出计数分布与泊松极限之间的总变差距离在 $ \rho \to \infty $ 时趋于零，证实了渐近泊松行为。
• 该结果对具有非空内部的任意凸窗口（不仅限于方形）依然成立，并且在满足温和方向条件的前提下可推广至非各向同性STIT随机剖分。