[论文解读] The Laumon's resolution of Drinfeld's compactification is small

Alexander Kuznetsov|ArXiv.org|Oct 27, 1996

Advanced Topology and Set Theory被引用 6

一句话总结

本文证明了Laumon对Drinfeld的准旗紧化空间的解析是奇点的小解析，证实了Drinfeld的一个猜想。关键结果表明，奇异紧化空间上的交集上同调层具有纯Tate霍奇结构，其贝蒂数与Lusztig定义的Kostant分拆函数的q-类比完全一致。

ABSTRACT

Let $C$ be a smooth projective curve of genus 0. Let $\FF$ be the variety of complete flags in an $n$-dimensional vector space $V$. Given an $(n-1)$-tuple $α$ of positive integers one can consider the space $\MMα$ of algebraic maps of degree $α$ from $C$ to $\FF$. This space has drawn much attention recently in connection with Quantum Cohomology. The space $\MMα$ is smooth but not compact. The problem of compactification of $\MMα$ proved very important. One compactification $\MMLα$ (the space of {\em quasiflags}), was constructed in \cite{L}. However, historically the first and most economical compactification $\MMDα$ (the space of {\em quasimaps}) was constructed by Drinfeld (early 80-s, unpublished). The latter compactification is singular, while the former one is smooth. Drinfeld has conjectured that the natural map $π:\MMLα o\MMDα$ is a small resolution of singularities. In the present note we prove this conjecture. As a byproduct, we compute the stalks of $IC$ sheaf on $\MMDα$ and, moreover, the Hodge structure in these stalks. Namely, the Hodge structure is a pure Tate one, and the generating function for the $IC$ stalks is just the Lusztig's $q$-analogue of Kostant's partition function (see \cite{Lu}).

研究动机与目标

• 证明Drinfeld猜想：从光滑准旗空间到Drinfeld的奇异准旗紧化空间的自然映射是奇点的小解析。
• 计算Drinfeld紧化空间上交集上同调层的纤维。
• 确定这些纤维的霍奇结构，并将其与已知的组合不变量联系起来。
• 在准旗紧化空间的几何与表示论不变量（如Lusztig定义的Kostant分拆函数的q-类比）之间建立精确联系。

提出的方法

• 使用Laumon解析作为Drinfeld准旗紧化空间的去奇异化方法。
• 分析解析映射的纤维结构，以验证小解析条件。
• 通过等变上同调与Bialynicki-Birula理论计算交集上同调层的纤维。
• 应用Lusztig的Kostant分拆函数的q-类比，以描述交集上同调纤维的贝蒂数生成函数。
• 利用Drinfeld紧化空间奇点由一个纤维维数小于奇异空间维数一半的映射所解析的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 Laumon对Drinfeld准旗紧化空间的解析是否为奇点的小解析？
• RQ2 Drinfeld奇异紧化空间上交集上同调层的霍奇结构是什么？
• RQ3 Drinfeld紧化空间上交集上同调层纤维的贝蒂数如何与已知的组合不变量相关？
• RQ4 交集上同调纤维的贝蒂数生成函数能否用Lusztig的Kostant分拆函数的q-类比来表达？

主要发现

• 从光滑准旗空间到Drinfeld准旗紧化空间的解析映射被证明是奇点的小解析。
• Drinfeld紧化空间上交集上同调层的纤维携带纯Tate霍奇结构。
• 交集上同调层纤维的贝蒂数生成函数等于Lusztig的Kostant分拆函数的q-类比。
• 解析映射的纤维维数严格小于奇异紧化空间维数的一半，从而证实了小解析性。