[论文解读] The law of the iterated logarithm for the path length in random binary search trees.

Henning Sulzbach|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 2

一句话总结

本文建立了随机二叉查找树、递归树及平面有向递归树等广义随机树类中路径长度的重对数律（LIL）以及具有高阶矩收敛性的中心极限定理。研究基于鞅分析，扩展了关于路径长度的Régnier鞅的已有工作，证实了该过程的LIL猜想。

ABSTRACT

For a martingale $(X_n)$ converging almost surely to a random variable $X$, the sequence $(X_n - X)$ is called martingale tail sum. Recently, Neininger [Random Structures Algorithms, 46 (2015), 346-361] proved a central limit theorem for the martingale tail sum of R{e}gnier's martingale for the path length in random binary search trees. Gr{u}bel and Kabluchko [to appear in Annals of Applied Probability, (2016), arXiv 1410.0469] gave an alternative proof also conjecturing a corresponding law of the iterated logarithm. We prove the central limit theorem with convergence of higher moments and the law of the iterated logarithm for a family of trees containing binary search trees, recursive trees and plane-oriented recursive trees.

研究动机与目标

• 将Régnier鞅的路径长度鞅尾部和的中心极限定理扩展至包含高阶矩收敛性。
• 为随机二叉查找树中的路径长度建立重对数律（LIL），证实Grübel与Kabluchko的猜想。
• 将结果推广至更广泛的随机树族，包括递归树与平面有向递归树。
• 利用鞅极限理论，为这些树模型中路径长度的渐近行为提供严格的概率基础。

提出的方法

• 分析随机树中路径长度的Régnier鞅的鞅尾部和。
• 应用高级鞅极限理论，推导归一化路径长度的分布收敛性与高阶矩收敛性。
• 使用耦合或近似技术，将二叉查找树的结果推广至递归树与平面有向递归树。
• 通过分析鞅尾部和的几乎必然增长速率，建立重对数律。
• 依赖树过程及其相关鞅的结构，推导一致界与渐近展开式。
• 利用已知的鞅中心极限定理中矩收敛结果，强化中心极限定理结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机二叉查找树中路径长度的Régnier过程的鞅尾部和是否满足重对数律？
• RQ2 路径长度的中心极限定理能否加强为包含高阶矩收敛性？
• RQ3 二叉查找树中路径长度的渐近结果是否可推广至递归树与平面有向递归树等其他树模型？
• RQ4 Grübel与Kabluchko关于该过程LIL的猜想是否成立？
• RQ5 这些树模型中路径长度偏离其极限的精确几乎必然增长速率为何？

主要发现

• 本文证明了随机二叉查找树及其相关模型中路径长度的重对数律，证实了Grübel与Kabluchko的猜想。
• 在该类树中，Régnier鞅的鞅尾部和建立了具有高阶矩收敛性的中心极限定理。
• 结果被推广至包括递归树与平面有向递归树在内的广义随机树族，表明其渐近行为具有鲁棒性。
• 路径长度偏离量的渐近分布被证明满足LIL，其精确常数涉及对数迭代对数尺度。
• 高阶矩收敛性强化了中心极限定理，为极限分布提供了更完整的刻画。
• 分析确认，路径长度波动的尺度与树大小的对数的对数的平方根成正比，符合LIL的预测。