[论文解读] The length of chains in algebraic lattices

Ilham Chakir, Maurice Pouzet|ArXiv.org|Dec 11, 2008

Advanced Algebra and Logic参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文研究代数格中链的长度与其紧致元素的并-半格结构之间的关系。证明了对于任意序类型 α，代数格 L 中不存在类型为 I(α) 的链，当且仅当 K(L) 中不包含某些特定的并-子半格，且此类禁止子半格的数量至多为 2^|α|。对于可数 α，作者猜想存在一个有限的刻画。

ABSTRACT

We study how the existence in an algebraic lattice $L$ of a chain of a given type is reflected in the join-semilattice $K(L)$ of its compact elements. We show that for every chain $α$ of size $κ$, there is a set $\B$ of at most $2^κ$ join-semilattices, each one having a least element such that an algebraic lattice $L$ contains no chain of order type $I(α)$ if and only if the join-semilattice $K(L)$ of its compact elements contains no join-subsemilattice isomorphic to a member of $\B$. We show that among the join-subsemilattices of $[ω]^{

研究动机与目标

• 确定代数格 L 中给定序类型 α 的链的存在或缺失如何反映在其紧致元素的并-半格 K(L) 中。
• 通过具有最小元的并-半格，将偏序集理想格的结果推广到代数格。
• 研究对于可数序类型 α，是否存在一个有限的禁止并-子半格集合，以刻画 K(L) 中不存在类型 I(α) 的链。
• 探讨 Ω(α′) 等并-半格的结构性质及其在将链嵌入理想格中的作用。

提出的方法

• 作者定义了具有最小元的并-半格类 𝕁，并使用 Forb(ℬ) 表示那些避免同构于集合 ℬ 中成员的并-子半格的元素。
• 他们引入了并-半格类 𝕁_¬α，即满足 J(P) 中不包含类型为 I(α) 的链的并-半格 P 的集合，并证明 𝕁_¬α = Forb(ℬ) 对于某个 ℬ ⊆ 𝕁 且 |ℬ| ≤ 2^|α| 成立。
• 他们利用链的 sierpinskizations 和单调嵌入构造了特定的并-半格，如 Ω(α′)，这些并-半格对某些链类型具有普遍性。
• 他们证明：当 α = ωα′ + n 且 n < ω 时，结构 Q_α = I_<ω(S_α)，其中 S_α = Ω(α′) ⊕ n，可嵌入到任意 α 和 ω 的 sierpinskisation S 的 I_<ω(S) 中。
• 他们建立 Q_α ∈ 𝕁_α，且嵌入保持有限并，从而将 K(L) 的结构与 L 中长链的存在性联系起来。
• 他们依赖于 [11] 中关于 sierpinskizations 和嵌入的已知结果，特别是 Ω(α′) 可嵌入到任意 ωα′ 和 ω 的 sierpinskisation 中。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的序类型 α，K(L) 中避免哪些并-子半格可刻画代数格 L 中不存在类型 I(α) 的链？其最小集合为何？
• RQ2 当 α 可数时，2^|α| 个禁止子半格的界能否改进为有限集合？
• RQ3 链的 sierpinskizations 如何与将并-半格嵌入偏序集理想格相关联？
• RQ4 Ω(α′) 及其相关构造的哪些结构性质确保了其在刻画链类型时的普遍性？
• RQ5 对于给定的 α，是否存在一个可嵌入到所有其他禁止子半格中的典范并-子半格？

主要发现

• 对于每个序类型 α，存在一个至多包含 2^|α| 个并-半格的集合 ℬ ⊆ 𝕁，使得代数格 L 不包含类型 I(α) 的链，当且仅当 K(L) 不包含同构于 ℬ 中任一成员的并-子半格。
• 在 α = ω* 时，禁止族 ℬ 中的并-半格 [ω]^{<ω} 的子集里，有一个可嵌入到所有其他成员中，表明存在一个典范的最小障碍。
• 当 α = ω 或有限时，禁止族 ℬ 仅包含一个成员，即 α′，其中 α = 1 + α′，表明这些情况下的结构更简单。
• 当 α = ω* 或 η 时，禁止族 ℬ 恰好包含两个成员：α 和 Ω(α)，这在新设定下确认了 [11] 中的已知结果。
• 构造 Q_α = I_<ω(S_α)，其中 S_α = Ω(α′) ⊕ n，被证明可嵌入到任意 α 和 ω 的 sierpinskisation S 的 I_<ω(S) 中，且 Q_α ∈ 𝕁_α，从而证明此类结构足以检测 J(P) 中 I(α) 的存在性。
• 作者猜想：若 α 可数，则存在一个有限集合 ℬ 足够，暗示 2^|α| 的界可能被加强。