[论文解读] The Lieb-Liniger model at the critical point as toy model for Black Holes

Mischa Panchenko|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2015

Relativity and Gravitational Theory被引用 4

一句话总结

该论文提出在量子临界点处的吸引性Lieb-Liniger模型作为黑洞的实验室可访问模型，利用其涌现的无能隙谱和类似Bose-Einstein凝聚态的行为。通过在主导低能模式 $a_0, a_{\pm1}$ 的低能区使用一种新型对角化技术，作者解析推导出能量间隙的 $N^{-1/3}$ 标度，并在 $N \to \infty$ 极限下证明了量子基态的完全耗尽，证实了类似黑洞的量子临界性。

ABSTRACT

In a previous series of papers it was proposed that black holes can be understood as Bose-Einstein condensates at the critical point of a quantum phase transition. Therefore other bosonic systems with quantum criticalities, such as the Lieb-Liniger model with attractive interactions, could possibly be used as toy models for black holes. Even such simple models are hard to analyse, as mean field theory usually breaks down at the critical point. Very few analytic results are known. In this paper we present a method of studying such systems at quantum critical points analytically. We will be able to find explicit expressions for the low energy spectrum of the Lieb-Liniger model and thereby to confirm the expected black hole like properties of such systems. This opens up an exciting possibility of constructing and studying black hole like systems in the laboratory.

研究动机与目标

• 将吸引性Lieb-Liniger模型在量子临界点处确立为可处理且可解析求解的黑洞物理玩具模型。
• 通过为有限维哈密顿量开发一种新的对角化方法，克服临界点处平均场理论和Bogoliubov理论的失效。
• 在临界耦合 $\alpha = 1$ 处，解析确定系统的低能谱、能量间隙标度和基态性质。
• 确认无能隙模式的涌现和与黑洞类比一致的临界标度行为。
• 为未来对量子临界玻色系统实验室实验提供定量预测。

提出的方法

• 将哈密顿量限制在由 $a_0, a_{\pm1}$ 模式主导的低能区，形成有限维矩阵哈密顿量。
• 在 $1/N$ 中发展一种新微扰理论，以在临界耦合 $\alpha = 1$ 处对角化相互作用哈密顿量。
• 使用连续场表示，将三模系统映射为在 $\alpha=1$ 时势能为 $V(r) = \frac{7\alpha}{32N}r^4$ 的二维各向同性四次谐振子。
• 对非相互作用部分应用Bogoliubov变换，并分析在 $N \to \infty$ 极限下能隙消失的临界点。
• 证明在大 $N$ 极限下，高动量模式会解耦，从而验证对低能区的截断。
• 通过数值计算交叉验证解析结果，以确认标度行为和本征态结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在临界点 $\alpha = 1$ 处，吸引性Lieb-Liniger模型是否表现出与黑洞类比一致的无能隙低能谱？
• RQ2 在临界区域中，能量间隙与粒子数 $N$ 的解析标度关系为何？
• RQ3 基态耗尽如何随 $N$ 变化，且在热力学极限下是否趋近于完全耗尽？
• RQ4 新的微扰对角化方法能否在临界点处给出低能谱的精确表达式？
• RQ5 该系统的低能动力学是否等价于二维纯四次谐振子，这对它的谱性质有何含义？

主要发现

• 仅 $a_0, a_{\pm1}$ 模式对临界点处的低能谱有贡献，从而支持了低维截断的合理性。
• 相邻低能本征态之间的能量间隙按 $N^{-1/3}$ 标度变化，证实了在 $N \to \infty$ 极限下系统趋于无能隙。
• 在 $N \to \infty$ 极限下，基态完全耗尽，耗尽程度按 $N^{1/3}$ 标度变化。
• 通过一种新的微扰理论，首次在 $1/N$ 的一阶近似下获得了基态的显式解析表达式。
• 在临界点处，该系统等价于二维各向同性纯四次谐振子，通过此映射揭示了其谱性质。
• 在大 $N$ 极限下，高动量模式解耦，验证了低能有效描述的合理性。