[论文解读] The limit to rarefaction wave with vacuum for 1D compressible fluids with temperature-dependent viscosities

Mingjie Li, Teng Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文建立了具有温度依赖粘性和热传导的一维可压缩N-S方程的零耗散极限，证明当粘性和热导率趋于零时，解收敛于带有真空的稀疏波。收敛是一致的，且通过精确的先验估计量化了收敛速率，尽管在真空区域存在退化现象。

ABSTRACT

In this paper we study the zero dissipation limit of the one-dimensional full compressible Navier-Stokes(CNS) equations with temperature-dependent viscosity and heat-conduction coefficient. It is proved that given a rarefaction wave with one-side vacuum state to the full compressible Euler equations, we can construct a sequence of solutions to the full CNS equations which converge to the above rarefaction wave with vacuum as the viscosity and the heat conduction coefficient tend to zero. Moreover, the uniform convergence rate is obtained. The main difficulty in our proof lies in the degeneracies of the density, the temperature and the temperature-dependent viscosities at the vacuum region in the zero dissipation limit.

研究动机与目标

• 证明具有温度依赖粘性和热传导的全可压缩N-S方程的零耗散极限。
• 分析当波的一侧为真空时，黏性解向Euler方程稀疏波解的收敛性。
• 克服零耗散极限过程中真空区域密度、温度和粘性系数退化的问题。
• 在真空态引发的奇点和退化现象存在下，建立一致的收敛速率。
• 将零耗散极限的有效性扩展至具有物理上合理的温度依赖粘性和热传导系数的全可压缩流体系统。

提出的方法

• 通过求解具有 $ε\mu(\theta) = \theta^\alpha$ 和 $\epsilon\kappa(\theta) = \theta^\alpha$ 的全可压缩N-S方程，构造带有真空的稀疏波的黏性逼近。
• 使用拉格朗日变换，将问题转化为拉格朗日坐标系下的移动边界问题。
• 在加权Sobolev空间中应用先验能量估计，以控制真空附近的解行为。
• 通过细致的插值和加权 $L^2$ 估计，建立解及其导数的统一有界性。
• 采用匹配渐近分析和能量估计，验证先验假设并将局部解全局延拓至无限时间。
• 通过比较黏性解与极限稀疏波的 $L^\infty$ 范数及 $\epsilon$ 中的对数修正项，推导收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有温度依赖粘性和热传导的全可压缩N-S方程证明零耗散极限？
• RQ2 在粘性和温度发生退化的情况下，零耗散极限过程中解在真空区域的行为如何？
• RQ3 当 $\epsilon \to 0^+$ 时，黏性解趋于真空稀疏波的统一收敛速率是什么？
• RQ4 能否为具有真空稀疏波初值的黏性系统证明解的全局存在性？
• RQ5 温度依赖粘性和热传导如何影响零耗散极限的收敛性和稳定性？

主要发现

• 当粘性和热导率系数趋于零时，全可压缩N-S方程的黏性解一致收敛于带有真空的稀疏波。
• 建立了阶为 $\epsilon^a |\ln \epsilon|$ 的统一收敛速率，其中 $a = \frac{24\gamma + 16\alpha(\gamma-1) - 3}{12(18\gamma + 12\alpha(\gamma-1))}$，$\gamma > 1$ 为绝热指数，$\alpha > 0$ 为温度依赖指数。
• 对于小但固定的 $\epsilon > 0$，证明了黏性系统的解的全局存在性，通过先验估计将局部解延拓至无限时间。
• 通过加权能量估计和插值技术处理了真空区域密度、温度和粘性系数的退化问题。
• 动量和总能量的收敛也以相同速率成立，证实了状态变量的完全收敛。
• 先验估计强于初始假设，使得局部解可被延拓为全局解。