[论文解读] The linear complexity of new binary cyclotomic sequences of period $p^n$

Vladimir Edemskiy|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Coding theory and cryptography被引用 5

一句话总结

本文证明了小野等人关于周期为 $p^n$ 的一类新型二元互反序列线性复杂度的猜想，其中 $p$ 为奇素数且 $2^{p-1} \not\equiv 1 \pmod{p^2}$。基于模 $p^n$ 的本原根构造广义互反类，作者推导出线性复杂度的精确公式：若 $2 \in D_0^{(p)}$，则 $L = p^n - \frac{p-1}{2} - \delta\left(\frac{p^n+1}{2}\right)$；否则 $L = p^n - \delta\left(\frac{p^n+1}{2}\right)$，表明其线性复杂度接近周期，具有较高复杂度。

ABSTRACT

In this paper, we determine the linear complexity of a class of new binary cyclotomic sequences of period pn constructed by Z. Xiao et al. (Des. Codes Cryptogr. DOI 10.1007/s10623-017-0408-7) and prove their conjecture about high linear complexity of these sequences.

研究动机与目标

• 解决小野等人关于周期为 $p^n$ 的新型二元互反序列线性复杂度的猜想。
• 在条件 $2^{p-1} \not\equiv 1 \pmod{p^2}$ 下，建立这些序列线性复杂度的精确公式。
• 证明这些序列具有高线性复杂度，适用于流密码等密码学应用。
• 将先前关于广义互反序列的结果推广至更高次幂 $p^n$，并建立统一的代数框架。

提出的方法

• 基于模 $p^2$ 的本原根，构造阶为 $d_j = \varphi(p^j)/e$ 的广义互反类，将构造扩展至 $p^n$。
• 通过互反类的陪集定义特征集 $\mathcal{C}_0^{(p^n)}$ 和 $\mathcal{C}_1^{(p^n)}$，引入偏移参数 $b$ 和 $f=2^r$。
• 应用 Berlekamp-Massey 算法框架，通过在 $\mathbb{F}_2$ 上分析生成多项式 $S(x)$ 的根。
• 利用迹函数性质与齐次多项式 $T^{(p^m)}_i(x)$，实现从 $\mathbb{F}_2(\alpha_{m-1})$ 到 $\mathbb{F}_2(\alpha_m)$ 的根的递归提升。
• 通过归纳法与域扩张次数的论证，证明 $[\mathbb{F}_2(\alpha_m) : \mathbb{F}_2(\alpha_{m-1})] < p$，除非满足关于 $2 \in D_0^{(p)}$ 的条件，否则导致矛盾。
• 利用 $\mathbb{F}_2(\alpha_1)$ 上 $T^{(p)}_i(x)$ 的已知结果，将根的计数结果推广至更高层次 $p^n$。

实验结果

研究问题

• RQ1 小野等人构造的周期为 $p^n$ 的新型二元互反序列的精确线性复杂度是多少？
• RQ2 在条件 $2^{p-1} \not\equiv 1 \pmod{p^2}$ 下，该序列具有高线性复杂度的猜想是否成立？
• RQ3 2 属于零阶互反类 $D_0^{(p)}$ 如何影响线性复杂度？
• RQ4 线性复杂度能否以 $p^n$、$p$ 以及 $(p^n+1)/2$ 的奇偶性统一表达？
• RQ5 参数 $f=2^r$ 在决定序列结构与复杂度方面起什么作用？

主要发现

• 当 $2 \in D_0^{(p)}$ 时，序列的线性复杂度为 $L = p^n - \frac{p-1}{2} - \delta\left(\frac{p^n+1}{2}\right)$，其中 $\delta(t) = 1$ 若 $t$ 为偶数，否则为 0。
• 当 $2 \not\in D_0^{(p)}$ 时，线性复杂度为 $L = p^n - \delta\left(\frac{p^n+1}{2}\right)$，若 $p^n+1$ 为偶数，则复杂度显著降低。
• 线性复杂度始终至少为 $p^n - \frac{p-1}{2}$，接近完整周期 $p^n$，表明具有强大的密码学强度。
• 证明依赖于证明 $T^{(p^n)}_b(\alpha_n^i) \in \{0,1\}$ 仅对有限数量的索引 $i$ 成立，且该数量取决于 2 所属的互反类。
• 该结果对所有满足 $p < 6.7 \times 10^{15}$ 的奇素数 $p$ 成立，除已知的两个维费里希素数 1093 和 3511 外。
• 分析确认这些序列几乎平衡，满足 $|\mathcal{C}_1^{(p^n)}| = (p^n + 1)/2$，且在给定条件下其线性复杂度达到最大值。