[论文解读] The link between the shape of the Aubry-Mather sets and their Lyapunov exponents

Marie-Claude Arnaud|ArXiv.org|Feb 19, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 26被引用 14

一句话总结

本文建立了精确辛扭转映射中 Aubry-Mather 集的 $C^1$-正则性与其 Lyapunov 指数之间的直接几何-动力学联系。通过 Green 丛，证明了零 Lyapunov 指数当且仅当支撑集几乎处处具有 $C^1$-正则性，而非零指数则对应于 $C^1$-不正则性；一致双曲集处处不正则，而靠近 KAM 曲线的集合仅表现出轻微的不规则性。

ABSTRACT

We consider the irrational Aubry-Mather sets of an exact symplectic monotone twist map and explain what is the link between the Lyapunov exponents and the shape of such a set. The main tools that we use in the proofs are the so-called Green bundles.

研究动机与目标

• 建立 Mather 测度在 Aubry-Mather 集上支持的 Lyapunov 指数的几何判据。
• 基于 Bouligand 切触锥定义并分析 Aubry-Mather 集的 $C^1$-正则性。
• 阐明辛扭转映射不变集的双曲性与几何正则性之间的关系。
• 证明靠近 KAM 曲线的集合虽可能非 $C^1$-正则，但不会表现出高度不规则性。
• 证明一致双曲性等价于支撑集处处不正则。

提出的方法

• 基于 Bouligand 切触锥提出 Aubry-Mather 集 $C^1$-正则性的新定义。
• 利用变分法与辛几何，在无理 Aubry-Mather 集上构造 Green 丛 $G_+$ 和 $G_-$。
• 利用 Green 丛的横截性刻画双曲性与非一致双曲性。
• 应用动力学判据，将 Green 丛之间的夹角与 Lyapunov 指数的符号联系起来。
• 利用 Green 丛的连续性与单调性分析正则性与双曲性。
• 利用 $G_-$ 与 $G_+$ 控制切锥 $P_M(x)$ 的事实，推导支撑集的几何约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从支撑集的 $C^1$-正则性确定 Mather 测度的 Lyapunov 指数？
• RQ2 何种几何条件可推出 Aubry-Mather 集的一致双曲性？
• RQ3 支撑集的正则性与非一致双曲性之间有何关系？
• RQ4 靠近 KAM 曲线的 Aubry-Mather 集在不规则性方面是否受到几何约束？
• RQ5 Green 丛的横截性与 Lyapunov 指数非零之间是否存在精确联系？

主要发现

• 当且仅当其支撑集在几乎每一点处均为 $C^1$-正则时，Mather 测度的 Lyapunov 指数为零。
• 当且仅当其支撑集在几乎每一点处均为 $C^1$-不正则时，Mather 测度的 Lyapunov 指数非零。
• Aubry-Mather 集一致双曲当且仅当其处处不具有 $C^1$-正则性。
• 对于非一致双曲的 Mather 测度，满足 $G_-(x) = G_+(x)$ 的点集为稠密的 $G_ u$ 型集，且此类点为 $C^1$-正则。
• 靠近 KAM 曲线的 Aubry-Mather 集不具有一致双曲性，且其切触锥较小，表明仅存在轻微的不规则性。
• 在一致双曲集中每点处，Green 丛 $G_+$ 与 $G_-$ 均横截，且该横截性特征刻画了一致双曲性。