[论文解读] The Liu-Yau mass as a good quasi-local energy in general relativity

Niall Ó Murchadha|ArXiv.org|Jun 8, 2007

Black Holes and Theoretical Physics被引用 5

一句话总结

本文通过证明 Liu-Yau 质量代表了在广义相对论中生成给定球对称二维曲面几何所需的最小能量，确立了其作为物理上有意义的准局部能量。相比 Brown-York 能量，Liu-Yau 质量更能准确反映内部能量含量。该文表明 Liu-Yau 质量为正，渐近趋于 ADM 质量，并在静态或球对称时空下提供了关于内部的独特信息。

ABSTRACT

A quasi-local mass has been a long sought after quantity in general relativity. A recent candidate has been the Liu-Yau mass. One can show that the Liu-Yau mass of any two-surface is the maximum of the Brown-York energy for that two-surface. This means that it has significant disadvantages as a mass. It is much better interpreted as an energy and I will show one way of doing so. The Liu-Yau mass is especially interesting in spherical geometries, where mass and energy are indistinguishable. For a spherical two-surface, it equals the minimum of the amount of energy at rest that one needs to put inside the two-surface to generate the given surface geometry. Thus it gives interesting information about the interior, something no other mass or energy function does.

研究动机与目标

• 在广义相对论中确立 Liu-Yau 质量作为具有物理意义的准局部能量。
• 解决 Brown-York 能量的不足之处，后者可能为负，且无法反映内部能量含量。
• 证明 Liu-Yau 质量提供了在球对称时空中生成给定二维曲面几何所需的最小能量。
• 表明 Liu-Yau 质量渐近趋于 ADM 能量-动量，并在洛伦兹提升下正确变换。
• 主张 Liu-Yau 质量提供了关于时空内部的唯一信息，不同于其他准局部质量。

提出的方法

• Liu-Yau 质量通过积分 $ 8\tau M_{LY} = \int (\sqrt{\rho_0\mu_0} - \sqrt{\rho\mu}) \, dA $ 定义，其中 $ \rho, \mu $ 是二维曲面的光锥展开率。
• 该方法依赖于将二维曲面等距嵌入平坦三维空间，以定义参考量 $ \rho_0, \mu_0 $。
• Liu-Yau 质量被解释为在静止状态下生成给定曲面几何所需的最小能量，尤其在球对称情形下。
• 作者将 Liu-Yau 质量与 Brown-York 能量进行比较，表明对于同一曲面，Liu-Yau 质量始终大于或等于 Brown-York 能量。
• 选择一个特定的三维截面，使得未来和过去的光锥展开率相等，从而实现能量-动量定义的一致性。
• 结果表明 Liu-Yau-Brown-York 能量-动量渐近趋于 ADM 能量-动量，并在渐近极限下满足 $ E^2 > P^2 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 Liu-Yau 质量能否被解释为反映时空内部能量含量的物理上有意义的准局部能量？
• RQ2 为何 Brown-York 能量在弯曲或运动的截面中无法捕捉内部能量？
• RQ3 在球对称时空中，Liu-Yau 质量与 Bartnik 或 Misner-Sharp 质量等其他准局部质量相比如何？
• RQ4 Liu-Yau 质量是否提供了生成给定二维曲面几何所需总能量的下限？
• RQ5 Liu-Yau 质量能否被一致地推广为具有正确渐近行为和洛伦兹变换性质的完整能量-动量四维矢量？

主要发现

• Liu-Yau 质量是生成给定球对称二维曲面几何所需的最小静止能量，使其成为内部能量的唯一度量。
• 在球对称情形下，Liu-Yau 质量严格为正，且随曲面半径减小而增大，反映了引力势阱的加深。
• 在大曲面极限下，Liu-Yau 质量渐近趋于 ADM 能量-动量，确保与标准全局能量定义的一致性。
• 对于同一二维曲面，Liu-Yau 质量始终大于或等于 Brown-York 能量，且避免了后者不合理的负值。
• 在真空时空中，由于引力波能量的存在，Liu-Yau 质量可能非零；但在静态或球对称情形下，它反映了物质或曲率的存在。
• 所提出的 Liu-Yau-Brown-York 能量-动量构造为正，渐近趋于 ADM 四维动量，且在无穷远处满足 $ E^2 - P^2 \approx M^2_{ADM} $。