[论文解读] The local entropy along Ricci flow---Part B: the pseudo-locality theorems

Bing Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 68被引用 7

一句话总结

本文受佩雷尔曼工作启发，引入了局部化熵泛函，并利用李-周估计，将里奇流的无局部坍缩定理与伪局部性定理推广。在基于局部化 $\nu$-泛函的初始度量条件下，建立了曲率、体积和注入半径的有界性，实现了初始数据的连续依赖性，并获得了具有有界标量曲率的凯勒流形的紧致性结果。

ABSTRACT

We localize the entropy functionals of G. Perelman and generalize his no-local-collapsing theorem and pseudo-locality theorem. Our generalization is technically inspired by further development of Li-Yau estimates along the Ricci flow. It has various applications, including to show the continuous dependence of the Ricci flow with respect to the initial metric in Gromov-Hausdorff topology with Ricci curvature bounded below, and to show the compactness of the moduli of Kähler manifolds with bounded scalar curvature and a rough locally almost Euclidean condition.

研究动机与目标

• 通过局部化熵泛函推广佩雷尔曼的无局部坍缩与伪局部性定理。
• 用基于 $\tilde{\nu}$-泛函的初始度量条件替代时空曲率条件。
• 在格罗莫夫-豪斯多夫拓扑下，建立里奇流对初始数据的连续依赖性。
• 证明具有有界标量曲率和近乎欧几里得体积比的凯勒流形模空间的紧致性。
• 通过局部化熵的单调性，统一并强化现有的伪局部性定理。

提出的方法

• 将佩雷尔曼的 $\mu$ 与 $\nu$ 泛函局部化，以在初始度量的球面上定义局部熵。
• 利用李-周型估计，推导出局部泛函沿里奇流的有效的单调性公式。
• 施加一个涉及 $\nu$-泛函的初始条件：$\boldsymbol{\nu}\left(B_{g(0)}(x_0,\delta^{-1}\sqrt{T}),g(0),T\right)\geq -\delta^2$。
• 导出曲率有界性 $t|Rm|(x,t)\leq\alpha$，体积比有界性 $\rho^{-m}|B_{g(t)}(x,\rho)|\geq(1-\alpha)\omega_m$，以及注入半径有界性 $t^{-1/2}\cdot\mathrm{inj}(x,t)\geq\alpha^{-1}$。
• 将结果应用于证明里奇流对初始数据的连续依赖性，以及凯勒流形模空间的紧致性。
• 利用调和映射理论与正则性，证明在等距极限下凯勒结构的光滑性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅用初始度量条件而非时空曲率有界性来证明伪局部性定理？
• RQ2 凯勒与黎曼流形的熵间隙定理中的最优间隙常数是多少？
• RQ3 在稳定性定理中，能否仅用局部化熵条件替代里奇曲率下界条件？
• RQ4 $\nu$-泛函是否能控制法诺流形与类似球面流形上里奇流的长期行为与收敛性？
• RQ5 能否通过熵有界性建立具有有界标量曲率的凯勒流形模空间的紧致性？

主要发现

• 改进的伪局部性定理在初始条件 $\boldsymbol{\nu}\left(B_{g(0)}(x_0,\delta^{-1}\sqrt{T}),g(0),T\right)\geq -\delta^2$ 下成立，该条件弱于以往假设。
• 对任意 $\alpha \in (0, \frac{1}{100m})$，存在 $\delta = \delta(\alpha,m)$，使得在大小约为 $(\delta r_0)^2$ 的时空区域内，曲率、体积与注入半径有界。
• 条件 $\boldsymbol{\nu}(B_{g(0)}(x_0,\delta^{-1}\sqrt{T}),g(0),T)\geq -\delta^2$ 蕴含对所有 $t \in (0,T]$，有 $t|Rm|(x,t)\leq\alpha$，$\rho^{-m}|B_{g(t)}(x,\rho)|\geq(1-\alpha)\omega_m$，以及 $t^{-1/2}\cdot\mathrm{inj}(x,t)\geq\alpha^{-1}$。
• 本文在有界里奇曲率与熵条件之下，证明了里奇流对初始数据在格罗莫夫-豪斯多夫拓扑下的连续依赖性。
• 通过熵控制，建立了具有有界标量曲率与粗略局部近乎欧几里得条件的凯勒流形模空间的紧致性。
• 本文猜想：$\boldsymbol{\nu}(M,g) > \boldsymbol{\nu}(\mathbb{CP}^n,g_{FS}) - \epsilon$ 蕴含双全纯微分同构于 $\mathbb{CP}^n$，且归一化里奇流指数收敛。