[论文解读] The local $h$-polynomial of the edgewise subdivision of the simplex

Christos A. Athanasiadis|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文计算了单形的 $r$-重边划分的局部 $h$-多项式，表明其等于无连续相等项且端点为零的 Smirnov 词中上升数的生成函数。通过显式组合解释证明了该多项式具有 $\gamma$-非负性，并构建了一个七维单纯形的旗三角剖分，其局部 $h$-多项式非实根，从而解决了关于旗复形中 $\gamma$-非负性与实根性的猜想。

ABSTRACT

The $r$-fold edgewise subdivision is a well studied flag triangulation of the simplex with interesting algebraic, combinatorial and geometric properties. An important enumerative invariant, namely the local $h$-polynomial, of this triangulation is computed and shown to be $γ$-nonnegative by providing explicit combinatorial interpretations to the corresponding coefficients. A construction of a flag triangulation of the seven-dimensional simplex whose local $h$-polynomial is not real-rooted is also described.

研究动机与目标

• 计算 $(n-1)$-单纯形的 $r$-重边划分的局部 $h$-多项式。
• 通过其系数的组合解释，建立该多项式的 $\gamma$-非负性。
• 构建一个七维单纯形的旗三角剖分，其局部 $h$-多项式非实根，以回应关于旗复形中实根性的猜想。

提出的方法

• 通过面限制上的容斥原理定义局部 $h$-多项式：$\ell_V(\Gamma,x) = \sum_{F \subseteq V} (-1)^{n-|F|} h(\Gamma_F,x)$。
• 将局部 $h$-多项式表征为 $E_r$ 作用于 $(x + x^2 + \cdots + x^{r-1})^n$ 的像，其中 $E_r(x^m) = x^{m/r}$ 若 $r \mid m$，否则为 0。
• 将局部 $h$-多项式识别为生成函数 $\sum_{w \in \mathcal{S}(n,r)} x^{\text{asc}(w)}$，其中 $\mathcal{S}(n,r)$ 是长度为 $n+1$、满足 $w_0 = w_n = 0$ 且无连续相等项的 Smirnov 词的集合。
• 通过计数具有 $i$ 个上升且满足特定双上升-双下降配对条件的 Smirnov 词，为 $\gamma$-系数提供组合解释。
• 应用广义划分算子 $\text{sd}_{\mathcal{F}}(\mathcal{K})$，从一个六维旗多面体（其 $h$-多项式非实根）出发，构造七维单纯形的旗三角剖分。
• 使用 Schlegel 图和投影技术，将一个旗多面体嵌入单纯形中，并构建具有指定邻域的三角剖分。

实验结果

研究问题

• RQ1 边划分单纯形的局部 $h$-多项式的显式形式是什么？
• RQ2 边划分的局部 $h$-多项式是否具有 $\gamma$-非负性？如果是，其系数能否有组合解释？
• RQ3 是否存在一个单纯形的旗三角剖分，其局部 $h$-多项式非实根？
• RQ4 边划分的旗三角剖分是否能确认关于 $\gamma$-非负性的猜想？
• RQ5 Smirnov 词的组合学与边划分的局部 $h$-多项式之间有何关系？

主要发现

• 边划分单纯形 $\text{esd}_r(2^V)$ 的局部 $h$-多项式为 $\sum_{w \in \mathcal{S}(n,r)} x^{\text{asc}(w)}$，其中 $\mathcal{S}(n,r)$ 是长度为 $n+1$、满足 $w_0 = w_n = 0$ 且无连续相等项的 Smirnov 词的集合。
• 该多项式具有 $\gamma$-非负性，其系数 $\xi_{n,r,i}$ 计数具有恰好 $i$ 个上升且满足特定双上升-双下降配对条件的 Smirnov 词。
• $\ell_V(\text{esd}_r(2^V), -1)$ 等于 $(-1)^{n/2}$ 乘以具有恰好 $n/2$ 个上升且满足配对性质的此类词的数量。
• 存在一个七维单纯形的旗三角剖分，其局部 $h$-多项式非实根，从而否定了旗复形中实根性的一般推广。
• 该构造依赖于将一个六维旗多面体（其 $h$-多项式非实根）嵌入七维单纯形，并利用划分算子构建以该多面体为邻域的三角剖分。
• 该三角剖分为旗三角剖分，且一个内部顶点的邻域组合同构于一个 $h$-多项式非实根的旗多面体的边界，从而确保局部 $h$-多项式非实根。