[论文解读] The Local Hamiltonian problem on a line with eight states is QMA-complete

Sean Hallgren, Daniel Nagaj+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用 14

一句话总结

该论文证明了当量子位的维度被限制为8个状态时，一维局部哈密顿量问题仍然是QMA-完全的，将先前13个状态的上界降低。作者通过历史态编码构建了量子验证电路，并采用精心设计的局部哈密顿量，通过微扰器件构造，在仅使用8能级量子位的一维链上模拟了一个QMA-完全问题，从而在低维空间局部设置下确立了计算困难性。

ABSTRACT

The Local Hamiltonian problem is the problem of estimating the least eigenvalue of a local Hamiltonian, and is complete for the class QMA. The 1D problem on a chain of qubits has heuristics which work well, while the 13-state qudit case has been shown to be QMA-complete. We show that this problem remains QMA-complete when the dimensionality of the qudits is brought down to 8.

研究动机与目标

• 通过将一维QMA-完全性所需的量子位状态数减少，弥合已知QMA-完全性结果与低维量子系统物理可行性之间的差距。
• 证明即使量子位被限制为仅8个能级，一维局部哈密顿量问题依然保持计算困难性，优于先前13态的上界。
• 构建一个物理上可行、空间局部的哈密顿量，作用于一维链上，仅使用8能级量子位来编码一个QMA-完全问题。
• 表明即使在无长程相互作用且量子位维度极低的情况下，计算困难性依然存在，这对实验量子模拟具有重要意义。

提出的方法

• 使用Kitaev的历史态构造，将一个量子验证电路嵌入到一维8态量子位链中，通过时间演化配置的叠加态编码计算过程。
• 设计一种微扰器件构造，利用局部哈密顿量强制正确演化，并通过能隙惩罚非法配置。
• 实现一个跃迁系统，能在多项式时间内将任何非法配置（包括局部不可检测的配置）演化为局部可检测的配置，确保能量惩罚有效。
• 应用投影引理，通过分析不同配置类型（合法、局部可检测的非法、不可检测的非法）对应的子空间，来限制完整哈密顿量的基态能量。
• 在具有特定边界条件的一维量子行走哈密顿量上，限制不可检测非法子空间中的最低本征值，表明其量级为O(1/poly(n))。
• 将耦合强度（J_prop 和 J_pen）设置为n的多项式函数，以确保整体能隙远离零，从而保持QMA-完全性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当量子位维度减少至8个状态时，具有最近邻相互作用的一维局部哈密顿量问题是否仍为QMA-完全？
• RQ2 能否仅使用局部相互作用和空间受限的架构，在一维8能级量子位链上编码一个QMA-完全问题？
• RQ3 当量子位状态数被最小化以接近物理实现时，一维局部哈密顿量问题的QMA-完全性是否依然成立？
• RQ4 在一维量子系统中，局部不可检测的非法配置能否通过局部规则系统性地演化为可检测配置，从而确保有效能量惩罚？

主要发现

• 一维局部哈密顿量问题在8态量子位下为QMA-完全，将先前13态的上界降低。
• 该构造采用微扰器件方法，通过一维链上仅使用8能级量子位的历史态，模拟了通用量子计算。
• 所有非法配置（包括局部不可检测的）均能在多项式时间内演化为局部受罚的配置，确保了有效的能隙。
• 不可检测非法子空间中的最低本征值被限制在O(1/poly(n))以内，通过选择合适的耦合强度可使其可忽略。
• 哈密顿量的整体基态能量在“是”实例中低于阈值a，在“否”实例中至少高于a 1/poly(n)，从而保持了承诺间隙。