[论文解读] The Local Isometric Embedding in R^3 of Two-Dimensional Riemannian Manifolds With Gaussian Curvature Changing Sign to Finite Order on a Curve

Marcus Khuri|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 6

一句话总结

该论文在 $ r \geq 60 $ 的 $ C^r $ 正则性条件下，证明了当二维黎曼流形的高斯曲率沿一条光滑曲线以有限阶次趋于零时，其在 $\mathbb{R}^3$ 中存在 $ C^{r-36} $ 局部等距嵌入。该结果通过一类具有混合型行为的二阶 Monge-Ampère 方程的一般可解性理论推导得出，解决了长期存在的曲率变号且沿曲线非退化地趋于零的情形。

ABSTRACT

We consider two natural problems arising in geometry which are equivalent to the local solvability of specific equations of Monge-Ampere type. These two problems are: the local isometric embedding problem for two-dimensional Riemannian manifolds, and the problem of locally prescribed Gaussian curvature for surfaces in R^3. We prove a general local existence result for a large class of Monge-Ampere equations in the plane, and obtain as corollaries the existence of regular solutions to both problems, in the case that the Gaussian curvature vanishes to arbitrary finite order on a single smooth curve.

研究动机与目标

• 解决当高斯曲率沿光滑曲线以有限阶次趋于零时，二维黎曼流形的局部等距嵌入问题。
• 在低正则性假设下，建立控制等距嵌入的 Monge-Ampère 方程存在 $ C^{r-36} $ 解。
• 通过将曲率设定与等距嵌入问题统一于具有混合型行为的 Monge-Ampère 方程框架下，推广并统一先前的相关结果。
• 将已知的存在性定理扩展至曲率非零、非退化临界点或曲率符号确定的以外的情形。

提出的方法

• 将等距嵌入问题约化为形式为 $\det(z_{ij} + a_{ij}(u,v,z,\nabla z)) = K f(u,v,z,\nabla z)$ 的二阶 Monge-Ampère 方程，其中 $ K $ 沿曲线 $\sigma$ 以有限阶次趋于零。
• 对低阶系数 $ a_{ij} $ 的趋于零阶次施加条件，要求其沿 $\sigma$ 的趋于零阶次至少比 $ K $ 低一阶。
• 应用坐标变换以在 $ x_1 $ 方向平坦化度量，将方程转化为适合摄动与渐近分析的形式。
• 使用爆破缩放 $\varepsilon = \text{const} \cdot \text{dist}(\cdot, \sigma)^{1/(n+1)} $ 分析退化曲线附近的性质，将方程转化为奇异摄动问题。
• 在加权 Hölder 空间中应用 Nash-Moser 型迭代方案构造解，利用 $ K $ 与 $ a_{ij} $ 的趋于零阶次来控制导数损失。
• 通过展示测地线假设并非本质性条件，利用坐标不变性与变换法则，证明了从测地线到一般光滑曲线的推广是可行的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ C^r $ 黎曼度量 $ ds^2 \in C^r $，$ r \geq 60 $ 的条件下，当其高斯曲率 $ K $ 沿光滑曲线以有限阶次趋于零时，何时可实现 $ \mathbb{R}^3 $ 中的局部 $ C^{r-36} $ 等距嵌入？
• RQ2 在低正则性假设下，是否可建立具有混合型行为（曲率变号且沿曲线趋于零）的 Monge-Ampère 方程的局部可解性？
• RQ3 对于在曲线上以有限阶次趋于零的 $ C^r $ 曲率函数 $ K $，其局部曲率设定问题是否可解，且所得曲面具有 $ C^{r-34} $ 正则性？
• RQ4 曲率与低阶系数的趋于零阶次如何影响等距嵌入方程解的正则性？
• RQ5 先前结果中关于测地线的假设是否可在不损失解正则性的前提下被移除？

主要发现

• 该论文证明了对于任意 $ C^r $ 黎曼度量 $ ds^2 \in C^r $，$ r \geq 60 $，当其高斯曲率 $ K $ 沿光滑曲线以有限阶次趋于零时，其在 $ \mathbb{R}^3 $ 中存在 $ C^{r-36} $ 局部等距嵌入。
• 对于曲率函数 $ K \in C^r $，$ r \geq 58 $ 的情形，论文建立了在 $ \mathbb{R}^3 $ 中存在 $ C^{r-34} $ 曲面且具有给定曲率的结论，前提是 $ K $ 沿光滑曲线以有限阶次趋于零。
• 主要结果为一类形式为 $ \det(z_{ij} + a_{ij}) = K f $ 的二阶 Monge-Ampère 方程的一般可解性定理，其中 $ K $ 沿曲线趋于零的阶次为 $ n+1 $，$ a_{ij} $ 的趋于零阶次为 $ n $，在 $ C^r $ 正则性下可得 $ C^{r-34} $ 解。
• 解法依赖于爆破缩放与加权 Hölder 空间中的 Nash-Moser 型迭代，$ K $ 与 $ a_{ij} $ 的趋于零阶次在控制导数损失中起关键作用。
• 证明了等距嵌入结果中测地线假设的可移除性，通过坐标不变性与变换法则将证明推广至任意光滑曲线。
• 分析表明，即使方程在曲线上发生从椭圆型到双曲型的转变，曲率以有限阶次趋于零并不会阻碍正则解的存在。