[论文解读] The local trace function of shift invariant subspaces

Dorin Ervin Dutkay|ArXiv.org|Feb 13, 2003

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 14被引用 13

一句话总结

本文引入了局部迹函数作为分析 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 中平移不变子空间的统一工具，推广了维数函数与谱函数。通过使用归一化紧框架并利用算子理论性质，该方法为基本小波结果（如维数函数与重数函数的等价性，以及尺度函数与小波之间的新关系）提供了简短而优美的证明。

ABSTRACT

We define the local trace function for subspaces of $\ltworn$ which are invariant under integer translation. Our trace function contains the dimension function and the spectral function defined by Bownik and Rzeszotnik and completely characterizes the given translation invariant subspace. It has properties such as positivity, additivity, monotony and some form of continuity. It behaves nicely under dilations and modulations. We use the local trace function to deduce, using short and simple arguments, some fundamental facts about wavelets such as the characterizing equations, the equality between the dimension function and the multiplicity function and some new relations between scaling functions and wavelets.

研究动机与目标

• 为研究 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 中的平移不变子空间，开发一种新的分析工具——局部迹函数。
• 统一并推广 Bownik 与 Rzeszotnik 所提出的维数函数与谱函数等现有概念。
• 通过基于迹的论证，利用算子理论方法，为基本小波刻画提供简洁证明。
• 通过归一化紧框架，建立局部迹函数与重数函数之间的联系。
• 利用迹函数对偶性，推导尺度函数与小波之间的新关系。

提出的方法

• 将局部迹函数 $\tau_{V,T}(\xi)$ 定义为算子 $T$ 作用于平移不变子空间 $V$ 的范围函数时的迹。
• 利用范围函数形式（Helson）通过 $\ell^2(\mathbb{Z}^n)$ 上的可测投影族表示 $V$。
• 利用局部迹函数在归一化紧框架（NTF）下的不变性，表明迹可通过对任意 NTF 计算，而不仅限于标准正交基。
• 通过两种方式计算局部迹函数，将局部迹函数应用于小波系统：一种使用小波生成元，另一种使用尺度函数生成元。
• 利用收敛定理（强算子收敛与单调收敛）将平移不变子空间的极限与其局部迹函数的极限联系起来。
• 通过在不同框架分解下对同一局部迹函数表达式进行等价变换，推导出关键的小波恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在平移不变子空间的统一框架下，将维数函数与谱函数统一？
• RQ2 归一化紧框架在计算迹函数中起什么作用？哪些向量族能产生等价的迹值？
• RQ3 局部迹函数如何刻画平移不变子空间的相等性？
• RQ4 能否利用局部迹函数证明小波理论中维数函数与重数函数的相等性？
• RQ5 基于迹的对偶性，尺度函数与小波之间是否存在新的关系？

主要发现

• 局部迹函数完全刻画了一个平移不变子空间：两个子空间相等当且仅当它们的局部迹函数相等。
• 在 $[-\pi,\pi]^n$ 几乎处处成立，维数函数等于重数函数，该结果通过证明两者均等于恒等算子处的局部迹函数而得证。
• 局部迹函数同时推广了维数函数（当 $T = I$ 时）与谱函数（当 $T = P_{\delta_0}$ 时），统一了先前的构造。
• 小波刻画方程 (6.1) 与 (6.2) 是将局部迹函数以两种方式表达的直接推论。
• 建立了一个尺度函数与小波之间的新关系：对 $s \in \mathbb{Z}^n \setminus A^*\mathbb{Z}^n$，小波傅里叶变换的互相关等于尺度函数互相关的负值（公式 6.11）。
• 几乎处处在 $\mathbb{R}^n$ 上成立恒等式 $\sum_{\psi \in \Psi} |\widehat{\psi}|^2(\xi) = \sum_{\varphi \in \Phi} |\widehat{\varphi}|^2((A^*)^{-1}\xi) - \sum_{\varphi \in \Phi} |\widehat{\varphi}|^2(\xi)$，该式由迹函数对偶性导出（公式 6.10）。