[论文解读] The locus of curves with prescribed automorphism group

Kay Magaard, Tony Shaska+2 more|arXiv (Cornell University)|May 30, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 81

一句话总结

该论文使用基于生成系和赫鲁兹空间的群论方法，对亏格 $g \leq 10$ 的曲线的自同构群指定的分支进行分类，特别关注‘大’自同构群。对于亏格 3 的情况，提供了完整的分类，包括显式方程，并利用 braid 群作用和 GAP 包 BRAID 计算了这些分支的维数和分支数。

ABSTRACT

Let G be a finite group, and $g \geq 2$. We study the locus of genus g curves that admit a G-action of given type, and inclusions between such loci. We use this to study the locus of genus g curves with prescribed automorphism group G. We completely classify these loci for g=3 (including equations for the corresponding curves), and for $g \leq 10$ we classify those loci corresponding to "large" G.

研究动机与目标

• 对亏格 $g$ 曲线的指定自同构群进行分类，特别关注 $g \leq 10$ 的情况，重点研究在自同构结构上具有显著性的‘大’群。
• 对亏格 3 曲线的自同构群提供完整且系统的分类，包括所有此类曲线的显式方程。
• 确定对应于给定自同构群的模空间分支的维数和不可约分支数。
• 提出一个判别准则，用于识别哪些有限群可作为亏格 $g$ 曲线的完整自同构群，基于签名和维数比较。
• 将该方法应用于布雷泽（Breuer）对亏格 $\leq 48$ 的曲线上作用群的分类数据，将结果扩展至亏格 10。

提出的方法

• 利用亏格 $g$ 曲线上忠实 $G$-作用与 $G$ 的亏格 $g$ 生成系之间的等价性，将问题转化为群论数据。
• 应用覆盖空间理论和黎曼-赫尔维茨公式，将群作用与分支签名及模空间维数联系起来。
• 采用赫鲁兹分支 $\mathcal{L}(g,G,\mathbf{c})$ 的概念，该分支参数化具有给定签名 $\mathbf{c}$ 的 $G$-作用的曲线，并研究此类分支之间的包含关系。
• 通过识别维数相等的分支对，确定子群作用何时无法扩展为更大群的作用，从而得出完整自同构群的判别准则。
• 使用 GAP 中的 BRAID 包计算生成系上的 braid 群轨道，当商曲面亏格为 0 时，这些轨道对应于分支。
• 利用具有大自同构群的曲线的商曲面亏格恒为 0 的事实，从而能够使用 braid 群作用计算分支计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $g \leq 10$，哪些有限群可作为亏格 $g$ 曲线的完整自同构群？
• RQ2 给定自同构群 $G$ 的模空间分支的维数和不可约分支数是多少？
• RQ3 如何系统地计算具有指定自同构群的亏格 3 曲线的方程？
• RQ4 在何种群论条件下，曲线上子群的作用可扩展为具有给定签名的更大群的作用？
• RQ5 在 $g \leq 10$ 的曲线上，哪些群在自同构数量上相对于赫鲁兹界具有显著性，可被视为‘大’群？

主要发现

• 该论文对亏格 3 曲线的自同构群提供了完整分类，包括所有此类曲线的显式方程，解决了文献中零散且有时错误的结果。
• 对于 $g \leq 10$，该论文对所有对应于‘大’自同构群的分支进行了分类，表 4 列出了每个此类分支的群 ID、签名、维数和分支数。
• 给定 $G$-作用的模空间分支的分支数通过 braid 群在生成系上的轨道确定，使用 GAP 中的 BRAID 包计算得出。
• 具有完整自同构群 $G$ 的分支由有限多个分支组成，本文对每个 $G$ 为‘大’的情况给出了确切的分支数和维数。
• 该方法表明，当且仅当 $\dim \mathcal{L} \leq 3$ 时，分支 $\mathcal{L} \subset \mathcal{L}'$ 满足 $\dim \mathcal{L} = \dim \mathcal{L}'$，这对完整群判别准则至关重要。
• 表 5 识别了可约的赫鲁兹分支，表明某些群（例如亏格 7 中的 (54,6)，亏格 9 中的 (48,48)）产生多个分支，具体列出了分支对。