[论文解读] The Loewner-Nirenberg problem in singular domains

Qing Han, Weiming Shen|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文在具有非光滑边界的小域中建立了 Loewner-Nirenberg 问题的最优渐近估计。通过构造一个将奇异边界点邻域微分同胚映射到其切锥的 $C^{1,1}$-微分同胚 $T$，作者证明了域中解 $u$ 在点态上可被切锥中的解 $u_{V_{x_0}}$ 好地逼近，且误差有界于 $C|x - x_0|$，其中 $C$ 仅依赖于 $n$ 和边界几何。该结果将经典结果推广至奇异域，并在最小正则性假设下确认了估计的最优性。

ABSTRACT

We study the asymptotic behaviors of solutions of the Loewner-Nirenberg problem in singular domains and prove that the solutions are well approximated by the corresponding solutions in tangent cones at singular points on the boundary. The conformal structure of the underlying equation plays an essential role in the derivation of the optimal estimates.

研究动机与目标

• 将经典的 Loewner-Nirenberg 渐近估计推广至边界在某点非 $C^2$ 的域中。
• 分析由 $k \leq n$ 个 $C^{1,1}$ 超曲面相交形成的孤立边界奇点附近，奇异 Yamabe 方程解的行为。
• 建立域中解在奇异点处被切锥中解良好逼近的结论，即使域本身不光滑。
• 在边界分量为 $C^{1,1}$ 正则性的条件下，证明 $O(|x - x_0|)$ 误差估计的最优性。

提出的方法

• 构造一个 $C^{1,1}$-微分同胚 $T$，将 $\Omega$ 中奇异边界点 $x_0$ 的邻域映射到切锥 $V_{x_0}$，同时保持边界结构。
• 利用共形变换，特别是由 $T_r(x) = \frac{2r^2(x - x_0)}{|x - x_0|^2 + 2r(x_1 - r)} + x_0$ 定义的反演 $T_r$，将域中的解与切锥中的解关联起来。
• 应用最大值原理，比较 $\Omega$ 中的解 $u$ 与内、外逼近域 $\widetilde{B}$ 和 $\widehat{B}$ 中的解，其中 $\widetilde{B}$ 和 $\widehat{B}$ 是在 $x_0$ 处与 $S_i$ 相切的球的并集。
• 利用比较原理，将 $u(x)$ 有界于 $v(x)(1 \pm C\delta^{-1}|x - x_0|)$ 之间，其中 $v$ 为切锥中的解，$\delta$ 为与法向量夹角相关的几何参数。
• 通过仿射几何、共形不变性及切锥中距离估计的结合，推导出关键估计 $\left| \frac{u(x)}{u_{V_{x_0}}(Tx)} - 1 \right| \leq C|x - x_0|$。
• 验证常数 $C$ 仅依赖于 $n$ 和边界超曲面 $S_i$ 的 $C^{1,1}$-范数，而与面数无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典的 Loewner-Nirenberg 估计 $|d^{\frac{n-2}{2}}u - 1| \leq Cd$ 能否推广至边界在某点非 $C^2$ 的域？
• RQ2 在奇异域中，边界点 $x_0$ 附近的解 $u$ 是否可被切锥 $V_{x_0}$ 中的解良好逼近？
• RQ3 在奇异域中，当 $x \to x_0$ 时，$u(x)$ 与 $u_{V_{x_0}}(Tx)$ 之间的逼近速率的最优阶是多少？
• RQ4 该估计能否独立于形成奇点的 $C^{1,1}$ 超曲面的数量？
• RQ5 在 $C^{1,1}$ 边界正则性下，$O(|x - x_0|)$ 误差项是否最优？

主要发现

• 在具有奇异边界点 $x_0$ 的有界 Lipschitz 域 $\Omega$ 中，解 $u$ 在点态上被切锥 $V_{x_0}$ 中的解 $u_{V_{x_0}}$ 逼近，满足估计 $\left| \frac{u(x)}{u_{V_{x_0}}(Tx)} - 1 \right| \leq C|x - x_0|$，其中 $x \in B_{r/2}(x_0)$。
• 估计中的常数 $C$ 仅依赖于 $n$ 和边界超曲面 $S_1, \dots, S_k$ 的 $C^{1,1}$-范数，而与面数无关。
• 该估计是最优的：在不增加 $\partial\Omega$ 的正则性假设下，$O(|x - x_0|)$ 误差项无法进一步改进。
• 构造 $C^{1,1}$-微分同胚 $T$ 是证明的核心，其基于到边界超曲面 $S_i$ 的距离。
• 该方法依赖于共形不变性，并通过与逼近域 $\widetilde{B}$ 和 $\widehat{B}$ 中的解进行比较，其中 $\widetilde{B}$ 和 $\widehat{B}$ 是在 $x_0$ 处与 $S_i$ 相切的球的并集。
• 通过用一系列 $C^{1,1}$-范数一致有界的多面锥逼近切锥，该结果可推广至具有孤立奇点的域。