[论文解读] The Logarithm of the Modulus of an Entire Function as a Minorant for a Subharmonic Function outside a Small Exceptional Set

Б. Н. Хабибуллин|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2020

Holomorphic and Operator Theory参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文建立了如下等价关系：存在一个整函数，其对数模被次调和函数的积分平均所控制，当且仅当存在一个整函数，其对数模在小的例外圆盘集合之外被该次调和函数本身所控制。关键结果表明，对于有限阶的次调和函数，log|f| ≤ u 在一个具有受控密度的可数个小区圆盘的并集之外成立，从而通过阶、型和指标函数实现了对增长的精确控制，提供了一种改进的下界条件。

ABSTRACT

Let $u ot\equiv -\infty$ be a subharmonic function on the complex plane $\mathbb C$. In 2016, we obtained a result on the existence of an entire function $f eq 0$ satisfying the estimate $\log|f|\leq {\sf B}_u$ on $\mathbb C$, where functions ${\sf B}_u$ are integral averages of $u$ for rapidly shrinking disks as it approaches infinity. We give another equivalent version of this result with $\log |f|\leq u$ outside a very small exceptional set if $u$ is of finite order.

研究动机与目标

• 建立2016年关于被次调和函数控制的整函数结果的等价表述。
• 通过在小例外集外用点态界替代积分平均，改进下界条件。
• 以次调和函数 u 的阶、型和指标来刻画整函数 f 的增长性质。
• 提供例外集具有受控密度和衰减速率的条件。

提出的方法

• 使用从次调和函数 u 导出的积分平均 B_u(z,r) 和 C_u(z,r) 作为 log|f| 的上界。
• 构造例外集 E_q 为可数个圆盘 D(z_k, t_k) 的并集，满足 sup t_k ≤ 1 且当 R→∞ 时 ∑_{|z_k|≥R} t_k = O(1/R^q)。
• 应用 Riesz 测度和调和上界，将次调和函数与其积分平均联系起来。
• 使用指标函数 ind_p[u](s) 比较 u 与 log|f| 之间的渐近增长行为。
• 利用 M^rad_u 与 C_u 和 B_u 的阶之间的等价性来控制增长。
• 通过双向蕴含证明：从定理1.1推出例外集表述，反之亦然，使用覆盖和测度论估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，整函数的对数模可在小例外集外被次调和函数点态控制？
• RQ2 例外集的大小与分布如何影响整函数的增长？
• RQ3 次调和函数 u 的阶、型和指标与整函数 f 的相应量之间存在何种精确关系？
• RQ4 能否将下界条件 log|f| ≤ B_u(z, Q(z)) 等价地替换为 log|f| ≤ u 在密度受控集合外成立？
• RQ5 u 的有限阶对 f 的增长有何约束？

主要发现

• 对任意 q > 0，存在一个非零整函数 f_q，使得对所有 z ∉ E_q 有 log|f_q(z)| ≤ u(z)，其中 E_q 为可数个圆盘的并集，满足 sup t_k ≤ 1 且当 R→∞ 时 ∑_{|z_k|≥R} t_k = O(1/R^q)。
• 整函数 f_q 的阶满足 ord[log|f_q|] ≤ ord[u]，且对所有 p > 0，其在阶 p 下的型满足 type_p[log|f_q|] ≤ type_p[u]。
• log|f_q| 的指标函数在点态上被 u 的指标函数控制，即对所有 s ∈ ℝ 和 p > 0，有 ind_p[log|f_q|](s) ≤ ind_p[u](s)。
• 次调和函数 u 的阶等于其积分平均的阶：ord[u] = ord[C_u] = ord[B_u]。
• 对每个 p > 0，type_p[u] 的有限性等价于 type_p[C_u] 和 type_p[B_u] 的有限性。
• 例外集 E_q 可被覆盖为总测度以 O(1/R^q) 衰减的圆盘，确保在无穷远处密度可忽略。