[论文解读] The logarithmically averaged Chowla and Elliott conjectures for two-point correlations

Terence Tao|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 22被引用 13

一句话总结

该论文通过一种新颖的熵递减论证，结合乘法数论、乘法函数的短区间平均值以及 Hardy-Littlewood 圆法工具，建立了李维拉函数两两点相关性的对数平均 Chowla 猜想。关键结果表明，当 $ x \to \infty $ 时，有 $ \sum_{x/\omega(x) < n \leq x} \frac{\lambda(a_1n + b_1)\lambda(a_2n + b_2)}{n} = o(\log \omega(x)) $，从而在两两点情形下突破了该问题的奇偶性障碍。

ABSTRACT

Let $λ$ denote the Liouville function. The Chowla conjecture, in the two-point correlation case, asserts that $$ \sum_{n \leq x} λ(a_1 n + b_1) λ(a_2 n+b_2) = o(x) $$ as $x o \infty$, for any fixed natural numbers $a_1,a_2,b_1,b_2$ with $a_1b_2-a_2b_1 eq 0$. In this paper we establish the logarithmically averaged version $$ \sum_{x/ω(x) &lt; n \leq x} \frac{λ(a_1 n + b_1) λ(a_2 n+b_2)}{n} = o(\log ω(x)) $$ of the Chowla conjecture as $x o \infty$, where $1 \leq ω(x) \leq x$ is an arbitrary function of $x$ that goes to infinity as $x o \infty$, thus breaking the "parity barrier" for this problem. Our main tools are the multiplicativity of the Liouville function at small primes, a recent result of Matomäki, Radziwiłł, and the author on the averages of modulated multiplicative functions in short intervals, concentration of measure inequalities, the Hardy-Littlewood circle method combined with a restriction theorem for the primes, and a novel "entropy decrement argument". Most of these ingredients are also available (in principle, at least) for the higher order correlations, with the main missing ingredient being the need to control short sums of multiplicative functions modulated by local nilsequences. Our arguments also extend to more general bounded multiplicative functions than the Liouville function $λ$, leading to a logarithmically averaged version of the Elliott conjecture in the two-point case. In a subsequent paper we will use this version of the Elliott conjecture to affirmatively settle the Erdős discrepancy problem.

研究动机与目标

• 建立李维拉函数两两点相关性的对数平均 Chowla 猜想，克服奇偶性问题障碍。
• 开发并应用一种新的熵递减论证，以控制短区间内乘法函数的相关性。
• 将这些技术扩展至一般有界乘法函数的两两点相关性，得到 Elliott 猜想的对数平均版本。
• 为通过此平均 Elliott 猜想解决 Erdœs 偏差问题奠定基础。
• 识别将该方法推广至高阶相关性时的主要障碍，特别是对任意频率的最大指数和的控制需求。

提出的方法

• 引入一种新颖的熵递减论证，以识别李维拉函数在该尺度 $ H $ 上表现出近似平移不变性的范围。
• 利用 $ \lambda $ 在小素数处的乘法性，将相关性与随机图结构上的双线性型联系起来。
• 应用测度集中不等式以控制这些双线性型的方差。
• 结合 Hardy-Littlewood 圆法与素数的限制定理，分析主要弧贡献。
• 利用 Matom"aki, Radziwi{\'l}{\

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用绕过奇偶性问题的工具，建立两两点相关性的对数平均 Chowla 猜想？
• RQ2 熵递减论证在识别李维拉函数表现出近似不变性的尺度 $ H $ 的过程中起到什么作用？
• RQ3 如何利用图论方法与指数和技巧控制涉及李维拉函数的双线性型？
• RQ4 将该方法推广至三点或更高阶相关性时的主要障碍是什么？
• RQ5 能否通过图的扩张性质等替代方法，从主要结果中去除对数平均？

主要发现

• 两两点相关性的对数平均 Chowla 猜想成立：当 $ x \to \infty $ 时，有 $ \sum_{x/\omega(x) < n \leq x} \frac{\lambda(a_1n + b_1)\lambda(a_2n + b_2)}{n} = o(\log \omega(x)) $。
• 该结果表明，符号模式 $ (\epsilon_1, \epsilon_2) \in \{-1,+1\}^2 $ 对于 $ (\lambda(n), \lambda(n+1)) $ 以对数密度 $ 1/4 $ 出现。
• 该方法通过利用熵递减论证导出的双线性估计，突破了两两点 Chowla 猜想的奇偶性障碍。
• 熵递减论证识别出李维拉函数表现出近似不变性的尺度 $ H $，从而实现对相关性的控制。
• 对于高阶相关性，主要障碍在于控制形如 $ \frac{1}{X}\int_X^{2X} \sup_\alpha \left| \frac{1}{H} \sum_{x \leq n \leq x+H} \lambda(n) e(\alpha n) \right| dx $ 的最大指数和，而这些目前尚无界。
• 该方法可推广至一般有界乘法函数，从而在两两点情形下得到 Elliott 猜想的对数平均版本。