[论文解读] The Lorentz Boost-Link Is Not Unique. Relative velocity as a morphism in a connected groupoid category of null objects

Zbigniew Oziewicz|ArXiv.org|Aug 30, 2006

Mathematics and Applications参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文主张，用于关联狭义相对论中惯性参考系的洛伦兹提升连接（Lorentz boost-link）并非仅由两个大小相等的向量唯一确定；相反，必须引入第三个特权向量（即优选观察者）才能实现唯一性。作者提出一个由质点构成的连通群胚范畴，其中相对速度作为唯一的态射，取代了非唯一的等距洛伦兹变换，从而在不依赖洛伦兹协变性作为基本原理的前提下重构了运动学。

ABSTRACT

The isometry-link problem is to determine all isometry transformations among given pair of vectors with the condition that if these initial and final vectors coincide, the transformation-link must be identity on entire vector space. In the first part of this essay we provide the complete solution for the link problem for arbitrary isometry, for any dimension and arbitrary signature of the invertible metric tensor. We apply these considerations for pure Lorentz transformations, for the Lorentz boost, parameterized by relative velocity, and we are showing that the isometric pure Lorentz transformation-link is not given uniquely by the initial and final vectors. Lorentz's boost needs a choice of the preferred time-like observer. This leads to non-uniqueness of the relative velocity among two reference systems, that was apparently not intention of Einstein in 1905. Presently, as during the XX century, the Lorentz covariance is the cornerstone of physical theory. Our main conclusion is: observer-dependence (and -independence), and the Lorentz--covariance (and invariance), are different concepts. In order to have axiomatically the unique relative velocity among pair of massive bodies, we propose a connected groupoid category of massive bodies in mutual motions

研究动机与目标

• 解决由两个大小相等的向量确定的洛伦兹提升变换的非唯一性问题。
• 通过表明洛伦兹协变性在传统假设中并非真正观察者无关，从而挑战其在相对论中的基础地位。
• 提出一个新框架，其中相对速度是核心概念，定义为质点连通群胚范畴中的唯一态射。
• 证明标准的等距洛伦兹提升本质上是非唯一的，必须依赖于一个优选参考系（第三个向量），这与爱因斯坦1905年提出的观察者无关性原则相矛盾。
• 使用弗罗贝尼乌斯代数重构运动学，使用非结合弗罗利彻-理查森代数重构动力学，从而超越洛伦兹群的范畴。

提出的方法

• 在任意维度和度量符号下形式化等距连接问题，证明仅凭初始和最终向量无法唯一确定纯等距变换（即提升）。
• 引入由三个向量构成的三元组（初始、最终和特权向量），以唯一定义一个纯等距变换，且仅当三者共面时唯一性才得以保证。
• 将该框架应用于洛伦兹提升，表明在缺乏优选类时向量观察者的情况下，相对速度无法唯一确定。
• 构建一个由质点构成的连通群胚范畴，其中每个态射均为唯一的速度态射，取代非唯一的等距提升变换。
• 利用范畴论将相对空间和时间定义为衍生概念，将质点作为基本实体。
• 提出观察者算子代数 Obs(ϖ) 对于任意n体系统均构成一个弗罗贝尼乌斯代数，暗示了相对论的新代数基础。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有任意度量符号的空间中，两个大小相等的向量之间存在多少个纯等距变换（即提升）？
• RQ2 为何标准洛伦兹提升连接并非唯一？需要何种附加结构才能使其唯一？
• RQ3 是否可以在质点范畴中将相对速度定义为一个独立于非唯一等距变换的唯一态射？
• RQ4 特权参考系在定义相对速度中起何作用？这如何影响相对性原理？
• RQ5 如何利用群胚范畴和弗罗贝尼乌斯代数重构相对论的运动学，以取代洛伦兹群作为基础对称性？

主要发现

• 洛伦兹提升连接并非仅由初始和最终向量唯一确定；必须引入第三个特权向量才能定义唯一的纯等距变换。
• 在非共面向量系统中，存在无限多个大小相等的向量之间的等距提升解。
• 在未指定优选类时向量观察者的情况下，两个惯性参考系之间的相对速度无法唯一定义，这与爱因斯坦1905年假设的观察者无关性相矛盾。
• 本文提出应将相对速度视为质点连通群胚范畴中的唯一态射，以取代非唯一的等距洛伦兹变换。
• 该新框架的运动学由算子代数 Obs(ϖ) 上的弗罗贝尼乌斯代数结构所支配，暗示了相对论更深层的代数基础。
• 作者认为，洛伦兹协变性的重要性将下降，因为观察者无关性与洛伦兹不变性是两个不同概念，且相对论的基本实体应为质点而非无质量场。