[论文解读] The Loschmidt echo in classically chaotic systems: Quantum chaos, irreversibility and decoherence

Fernando Cucchietti|ArXiv.org|Oct 15, 2004

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 94被引用 7

一句话总结

本论文研究了经典混沌量子系统中的洛施密特回声（LE），证明在半经典近似下，对于强扰动，LE 的衰减呈指数形式，其衰减速率由经典李雅普诺夫指数决定。通过表明 LE 的衰减速率等于退相干速率，该研究建立了量子不可逆性、量子混沌与退相干之间的直接联系，证实 LE 是经典混沌的稳健量子表征。

ABSTRACT

The Loschmidt echo (LE) is a measure of the sensitivity of quantum mechanics to perturbations in the evolution operator. It is defined as the overlap of two wave functions evolved from the same initial state but with slightly different Hamiltonians. Thus, it also serves as a quantification of irreversibility in quantum mechanics. In this thesis the LE is studied in systems that have a classical counterpart with dynamical instability, that is, classically chaotic. An analytical treatment that makes use of the semiclassical approximation is presented. It is shown that, under certain regime of the parameters, the LE decays exponentially. Furthermore, for strong enough perturbations, the decay rate is given by the Lyapunov exponent of the classical system. Some particularly interesting examples are given. The analytical results are supported by thorough numerical studies. In addition, some regimes not accessible to the theory are explored, showing that the LE and its Lyapunov regime present the same form of universality ascribed to classical chaos. In a sense, this is evidence that the LE is a robust temporal signature of chaos in the quantum realm. Finally, the relation between the LE and the quantum to classical transition is explored, in particular with the theory of decoherence. Using two different approaches, a semiclassical approximation to Wigner functions and a master equation for the LE, it is shown that the decoherence rate and the decay rate of the LE are equal. The relationship between these quantities results mutually beneficial, in terms of the broader resources of decoherence theory and of the possible experimental realization of the LE.

研究动机与目标

• 理解具有经典混沌动力学的量子系统中洛施密特回声（LE）的行为。
• 建立通过 LE 表征的量子不可逆性与通过李雅普诺夫指数表征的经典动力不稳定性之间的理论联系。
• 利用 LE 作为探测工具，研究退相干在量子到经典演化过渡中的作用。
• 通过在不同混沌系统中进行广泛的数值模拟，验证分析预测。
• 探索半经典理论无法涵盖范围之外的 LE 李雅普诺夫衰减区间的普适性。

提出的方法

• 采用半经典近似，推导混沌系统中洛施密特回声的解析表达式。
• 利用 Wigner 函数形式，将量子演化与经典相空间动力学联系起来。
• 应用主方程方法，模拟 LE 衰减并将其与退相干过程关联。
• 对洛伦兹气体、椭圆弹道系统及倒置谐振子等系统进行数值模拟。
• 将半经典预测与数值结果进行比较，验证 LE 衰减的李雅普诺夫区间的正确性。
• 通过质量张量形变引入扰动，以模拟混沌动力学并探测 LE 对扰动的敏感性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有经典混沌动力学的量子系统中，洛施密特回声如何衰减？
• RQ2 洛施密特回声的衰减速率在多大程度上与经典李雅普诺夫指数一致？
• RQ3 洛施密特回声能否作为经典混沌的普适量子表征？
• RQ4 洛施密特回声的衰减速率与量子退相干速率之间存在何种关系？
• RQ5 量子效应如埃亨费斯特时间与热力学极限如何影响 LE 李雅普诺夫区间的普适性？

主要发现

• 在半经典区域内，洛施密特回声呈指数衰减，且对于强扰动，其衰减速率与经典李雅普诺夫指数一致。
• 洛伦兹气体与椭圆弹道系统的数值模拟证实了李雅普诺夫衰减的分析预测，理论与模拟结果高度一致。
• 洛施密特回声的李雅普诺夫衰减区表现出跨不同混沌系统的普适性，甚至超越了半经典理论的适用范围。
• 洛施密特回声的衰减速率等于退相干速率，从而在定量上建立了不可逆性与退相干之间的直接联系。
• 半经典的 Wigner 函数方法成功再现了支撑 LE 演化的经典相空间动力学。
• 质量张量的形变提供了与弹道系统中几何扰动等价的描述，验证了此类模型在 LE 研究中的适用性。