[论文解读] The low mach number limit of global solutions to the full compressible Navier-Stokes system in critical Besov spaces with large initial data

Sai Li|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2026

Navier-Stokes equation solutions被引用 0

一句话总结

论文证明全可压缩 Navier–Stokes 方程在临界 Besov 空间中对大初始条件的正则解的全局存在性，并对低马数极限到不可压的 Boussinesq 系统进行了严格证实。

ABSTRACT

We are concerned with global existence of regular solutions to full compressible Navier-Stokes equations and their asymptotic behavior when the Mach number is sufficiently small. We establish global existence in critical Besov spaces for arbitrary large initial date provided that the divergence-free component of initial velocity and the difference between initial temperature and density generate a global regular solution to incompressible Boussinesq systems. Moreover, we rigorously justify the convergence to the incompressible model as the Mach number tends to zero. The proof relies on a fine-grained analysis of the high-middle-low frequencies of density, velocity and temperature. Our result can be seen as an improvement on Danchin and He [Math. Ann., 366 (2016), no. 3-4, pp. 1365-1402], including the extension from small initial data to large initial data and new convergence results which hold at the level of critical regularity.

研究动机与目标

• 在临界 Besov 空间下对带大初始数据的全可压缩 Navier–Stokes 系统的全局适定性进行建立。
• 刻画马赫数趋近于零时的渐近行为，并证明收敛到不可压模型。
• 通过精确的频率分析将低马数极限与 Boussinesq 系统联系起来。

提出的方法

• 在临界 Besov 空间中进行三段式的高/中/低频分析。
• 定义并使用能量泛函 E^{ε} 以及量量 M^{ε,α}_{p,q}[a,u,θ;τ,σ](I) 来控制解。
• 引入变量 τ^{ε} 和 σ^{ε} 以处理奇异项，并利用投影算子 Q 与 P 将速度分解为散度为零和旋度为零的分量。
• 将动力学分解为不可压极限（Θ, v）满足 Boussinesq 系统，以及波动分量（τ^{ε}, Q u^{ε}）的色散衰减。
• 证明对 ε 的一致性先验估计并在临界正则性下获得收敛结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在马赫数尺度下，是否能够在临界 Besov 空间对任意大初始数据获得全局正则解？
• RQ2 当 ε→0 时，解是否收敛到不可压（Boussinesq）模型，且在何种正则性水平上？
• RQ3 在频率空间中，促成大数据条件下低马数极限成立的精确机制是什么？
• RQ4 在低马数极限下，速度场的散度-为零分量和旋度分量如何行为？
• RQ5 确保收敛结果在临界正则性水平下成立，需要哪些一致估计？

主要发现

• 在 0 < ε ≤ ε_{0} 的给定 Besov-类框架下，对于大初始数据，存在唯一解 (a^{ε}, u^{ε}, θ^{ε}) 的全局存在性。
• 当 ε → 0 时收敛到不可压 Boussinesq 系统，并给出速度场的散度为零部分的显式收敛陈述。
• 数量学上有界的 ε 量纲化范数，表明密度和温度涨落的范数保持在受控范围，从而实现对 ε 的一致估计。
• 在临界正则性水平上实现收敛，这一结果提升了仅限小数据情形的先前结论。
• 一种三段式的频率分析策略，处理高频、中频和低频的非线性相互作用与色散效应。