[论文解读] The Lower Bound Error for polynomial NARMAX using an Arbitrary Number of Natural Interval Extensions

Priscila F. S. Guedes, Márcia L. C. Peixoto+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2017

Chaos control and synchronization参考文献 6被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种新颖方法，通过比较从k个不同自然区间扩展中导出的k个伪轨道，利用递归函数传播和李雅普诺夫指数验证，估计多项式NARMAX模型的下界误差。该方法提高了误差估计的准确性，并在正弦映射（李雅普诺夫指数≈1.15 bit/s）和杜芬-雨达振子（≈0.1202）中与文献值表现出强烈一致性，证实了其在混沌系统仿真中的可靠性。

ABSTRACT

The polynomial NARMAX (Nonlinear AutoRegressive Moving Average model with eXogenous input) is a model that represents the dynamics of physical systems. This polynomial contains information from the past of the inputs and outputs of the process, that is, it is a recursive model. In digital computers this generates the propagation of the rounding error. Our procedure is based on the estimation of the maximum value of the lower bound error considering an arbitrary number of pseudo-orbits produced from different natural interval extensions, and a posterior Lyapunov exponent calculation. We applied successfully our technique for two identified models of the systems: sine map and Duffing-Ueda oscillator

研究动机与目标

• 为解决多项式NARMAX仿真中缺乏稳健的误差传播分析，特别是数字计算中的舍入误差问题。
• 将先前仅使用两个伪轨道进行下界误差估计的研究工作，扩展至任意数量的区间扩展。
• 通过量化可能的最小误差增长，提高非线性动态系统数值仿真的可靠性。
• 通过与已知文献值对比，利用著名混沌系统——正弦映射和杜芬-雨达振子，验证所提方法。
• 证明k个伪轨道之间的最大距离可提供比成对比较更紧致、更精确的下界误差估计。

提出的方法

• 该方法从同一多项式NARMAX函数的k个不同自然区间扩展中生成k个伪轨道，保持数学等价性，但算术运算顺序不同。
• 每个伪轨道均使用区间算术计算，两个测试系统的初始条件均设为X₀ = 0.1。
• 在每个时间步长，计算所有k个伪轨道之间的最大成对距离，作为下界误差估计的基础。
• 证明了一个定理：k个伪轨道之间的最大距离超过任意两个伪轨道导出的下界误差，从而收紧误差估计。
• 使用文献[6]中的方法，计算最大下界误差轨迹的李雅普诺夫指数，以便与文献值进行比较。
• 该方法应用于两个基准系统：正弦映射和杜芬-雨达振子，结果与已知动力学参数进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用k个来自k个不同自然区间扩展的伪轨道，是否能比传统的双伪轨道方法更准确、更紧致地估计多项式NARMAX模型的下界误差？
• RQ2 k个伪轨道之间的最大距离与递归数值仿真中真实下界误差之间有何关系？
• RQ3 所提方法在区间算术误差传播下，是否能保持混沌系统的动力学特征（如李雅普诺夫指数）？
• RQ4 增加区间扩展数量在多大程度上提升了多项式NARMAX模型中误差估计的可靠性？
• RQ5 该方法能否成功应用于正弦映射和杜芬-雨达振子等著名混沌系统，并获得与已有文献一致的结果？

主要发现

• 对于正弦映射，所提方法计算得到的李雅普诺夫指数约为1.15 bit/s，与文献值1.15 bit/s高度一致。
• 对于杜芬-雨达振子，计算得到的李雅普诺夫指数为0.1202，与文献值0.115高度一致。
• 理论证明表明，k个伪轨道之间的最大距离是比成对比较更优且更紧致的下界误差估计，从而验证了下界误差定理的理论扩展。
• 尽管存在数值误差传播，该方法仍成功捕捉了两个系统的混沌动力学，证实了其鲁棒性。
• 使用多个区间扩展可提高误差估计精度，且未显著增加计算复杂度，因该方法在k上具有高效可扩展性。
• 结果表明，所提出的k-伪轨道方法显著提升了多项式NARMAX模型在混沌区域自由运行仿真中的可靠性。