[论文解读] The Lowest Order Interior Penalty Nonconforming Finite Element Methods for Linear Elasticity

Shihua Gong, Shuonan Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 3

一句话总结

该论文提出了一类基于任意单纯形网格上内部罚惩罚稳定化的非协调混合有限元方法，适用于任意空间维数的线弹性问题。通过引入基于局部对称张量分解的面泡函数空间，该方法在实现简单的同时，实现了位移和应力的最优收敛率，得益于显式基函数的构造。

ABSTRACT

We propose two classes of mixed finite elements for linear elasticity of any order, with interior penalty for nonconforming symmetric stress approximation. One key point of our method is to introduce some appropriate nonconforming face-bubble spaces based on the local decomposition of discrete symmetric tensors, with which the stability can be easily established. We prove the optimal error estimate for both displacement and stress by adding an interior penalty term. The elements are easy to be implemented thanks to the explicit formulations of its basis functions. Moreover, the methods can be applied to arbitrary simplicial grids for any spatial dimension in a unified fashion. Numerical tests for both 2D and 3D are provided to validate our theoretical results.

研究动机与目标

• 开发适用于任意单纯形网格的稳定非协调混合有限元方法，以解决线弹性问题。
• 在任意空间维数下，确保位移和应力逼近的最优收敛率。
• 通过显式基函数表达式简化实现过程。
• 基于局部对称张量分解，提出一种新颖的非协调面泡函数空间构造方法，以建立稳定性。
• 使用统一框架实现所有空间维数下的方法统一表述。

提出的方法

• 引入基于离散对称张量局部分解的非协调面泡函数空间，以增强稳定性。
• 应用内部罚惩罚项，弱形式地强制对称应力逼近的连续性。
• 利用这些面泡函数增强项构造混合有限元，以稳定非协调方法。
• 采用适用于任意空间维数的统一公式，基于单纯形单元。
• 推导出基函数的显式表达式，实现简单高效的实现。
• 采用弱对称性和连续性通过罚惩罚项强制的混合变分公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过内部罚惩罚稳定化构造出线弹性问题的稳定非协调混合有限元方法？
• RQ2 如何设计面泡函数空间，以确保位移和应力逼近的最优收敛率？
• RQ3 能否在所有空间维数下，使用单纯形网格统一构建该方法？
• RQ4 局部对称张量分解对方法的稳定性和收敛性有何影响？
• RQ5 显式基函数在不损失精度的前提下，能在多大程度上简化实现过程？

主要发现

• 所提方法在能量范数下对位移和应力均实现了最优收敛率。
• 通过基于局部对称张量分解的面泡函数空间构造，严格建立了方法的稳定性。
• 内部罚惩罚项有效强制了连续性，并确保了最优误差估计。
• 该方法适用于任意空间维数下的任意单纯形网格，且具有统一的公式表达。
• 在2D和3D中的数值实验验证了理论收敛率。
• 显式基函数使得实现过程简单且高效。