[论文解读] The LU-LC conjecture is false

Zhengfeng Ji, Jianxin Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 12

一句话总结

该论文通过构造一个反例，推翻了LU-LC猜想，表明两个稳定化子态可以是局部酉（LU）等价的，但不一定是局部 Clifford（LC）等价的。通过将二次型问题（QFP）转化为稳定化子态，作者构造了明确的态，这些态是LU等价但非LC等价，证明了在一般情况下LU等价与LC等价并不等价，特别是对于秩至少为6的稳定化子态而言。

ABSTRACT

The LU-LC conjecture is an important open problem concerning the structure of entanglement of states described in the stabilizer formalism. It states that two local unitary equivalent stabilizer states are also local Clifford equivalent. If this conjecture were true, the local equivalence of stabilizer states would be extremely easy to characterize. Unfortunately, however, based on the recent progress made by Gross and Van den Nest, we find that the conjecture is false.

研究动机与目标

• 为推翻长期存在的LU-LC猜想，该猜想认为局部酉（LU）等价的稳定化子态必须也是局部Clifford（LC）等价的。
• 证明LU等价与LC等价在一般情况下并不等价，挑战了LC等价完全刻画稳定化子态局部等价性的假设。
• 提供一种构造性方法，利用二次型和图态变换生成反例。
• 阐明稳定化子形式在LC框架之外刻画局部酉等价性的局限性。

提出的方法

• 利用Gross与Van den Nest的最新结果，将LU-LC猜想转化为更简单的问题，即二次型问题（QFP）。
• 将稳定化子态构造为仿射子空间上的均匀叠加，形式为 $ \frac{1}{\sqrt{|T|}}\sum_{x\in T}(-1)^{Q(x)}|x\rangle $，其中 $ Q(x) $ 是一个二次函数。
• 定义两个态：$ |S\rangle = \sum_{x\in S}|x\rangle $ 和 $ |Q,S\rangle = \sum_{x\in S}(-1)^{Q(x)}|x\rangle $，它们是DLU等价的，因此也是LU等价的。
• 使用LC等价性判定算法（NDM04a）测试对应的图态 $ |G_S\rangle $ 和 $ |G_{Q,S}\rangle $ 是否为LC等价。
• 应用图态变换，将原始态映射为图态，从而通过图论规则实现高效的LC等价性测试。
• 利用关于最小稳定化子支撑（NDM05）的结果，当局部酉操作非Clifford时，论证其非LC等价性，为反例提供理论依据。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有LU等价的稳定化子态是否必然LC等价，正如LU-LC猜想所声称的那样？
• RQ2 能否构造一个反例，使得两个稳定化子态是LU等价但不是LC等价？
• RQ3 此类反例存在的最小量子比特数是多少？
• RQ4 稳定化子群的结构以及二次型 $ Q(x) $ 如何影响LU等价与LC等价之间的区别？
• RQ5 能否使用图论方法或稳定化子形式来刻画LU-LC之间的区别？

主要发现

• LU-LC猜想是错误的：存在LU等价但非LC等价的稳定化子态。
• 构造了一个包含27个量子比特的反例，作者认为这是此类反例的最小可能规模。
• 该反例源自一个被证伪的二次型问题（QFP）实例，通过变换可推出LU-LC猜想的错误。
• 态 $ |S\rangle $ 与 $ |Q,S\rangle $ 是DLU等价的，因此也是LU等价的，但它们对应的图态 $ |G_S\rangle $ 与 $ |G_{Q,S}\rangle $ 并非LC等价。
• 该反例表明，仅相差一条边的两个图态也可能是LU等价但非LC等价。
• 通过随机过程生成了更大的反例，包括一个35量子比特的反例，后来通过随机构造中的洞察发现了7量子比特的反例。