[论文解读] The Lusternik-Schnirelmann theorem for graphs

Frank Werner Josellis, Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2012

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 28被引用 17

一句话总结

本文通过引入有限简单图中收缩性、临界点和上积长度的离散类比，将经典Lusternik-Schnirelmann范畴定理推广至有限简单图。证明了拓扑范畴 tcat(G) 上界为任意图 G 上顶点的单射函数的临界点数 crit(G) 的最小值，建立了代数拓扑中基本不等式在离散情形的版本。

ABSTRACT

We prove the discrete Lusternik-Schnirelmann theorem telling that tcat(G) less or equal to crit(G) for a general simple graph G=(V,E). It relates the minimal number tcat(G) of in G contractible graphs covering G, with crit(G), the minimal number of critical points which an injective function f on the vertex set V can have. We also prove that the cup length cup(G) is less or equal to tcat(G) which is valid also for any finite simple graph. If cat(G) is the minimal tcat(H) among all graphs H homotopic to G and cri(G) is the minimal crit(H) among all graphs H homotopic to G, we get a relation between three homotopy invariants: an algebraic quantity (cup), a topological quantity (cat) and an analytic quantity (cri).

研究动机与目标

• 将经典Lusternik-Schnirelmann范畴定理从光滑流形推广至有限简单图。
• 在图论中定义并形式化关键拓扑概念的离散类比——收缩性、临界点、上积长度和同伦。
• 建立同伦不变量的层级关系：上积长度 ≤ 范畴 ≤ 临界点数，该关系对所有有限简单图均成立。
• 证明离散范畴 tcat(G) 和临界点数 crit(G) 是同伦不变量，与图的表示方式无关。

提出的方法

• 若存在定义在顶点上的单射函数 f，使得所有子图 S⁻(x) = {y ∈ S(x) | f(y) < f(x)} 均为收缩的，则称图 G 在自身中为 I-收缩的。
• 通过顶点和边的形变步骤（a–d）定义 I-同伦，其等价于仅通过顶点操作实现的同伦（Chen-Yau-Yeh 定理）。
• 将拓扑范畴 tcat(G) 定义为所有与 G 同伦的图 H 中 tcat(H) 的最小值，将 crit(G) 定义为所有此类 H 中 crit(H) 的最小值。
• 将上积长度 cup(G) 定义为图 G 的上同调环中非平凡上积的最大长度。
• 通过归纳构造和离散莫尔斯理论论证，证明不等式链 cup(G) ≤ tcat(G) ≤ crit(G)。
• 利用单射函数 f: V → ℝ 诱导的过滤结构，追踪临界点处的同伦变化，此时欧拉示性数可能发生改变。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lusternik-Schnirelmann范畴定理能否推广至有限简单图？
• RQ2 图论中收缩性、临界点和上积长度的离散类比是什么？
• RQ3 在离散情形下，不变量 tcat(G)、crit(G) 和 cup(G) 之间有何关系？
• RQ4 范畴 tcat(G) 在图的同伦等价下是否保持不变？
• RQ5 图的单射函数的最小临界点数能否由其拓扑范畴界定？

主要发现

• 离散Lusternik-Schnirelmann不等式成立：对任意有限简单图 G，均有 tcat(G) ≤ crit(G)。
• 上积长度 cup(G) 受拓扑范畴的上界控制：cup(G) ≤ tcat(G)。
• 范畴 tcat(G) 和临界点数 crit(G) 是同伦不变量，即在 I-同伦下保持不变。
• 满足 crit(G) = 2 的图是离散球面，其贝蒂数为 (1, 0, ..., 0, 1)，欧拉示性数为 1 + (−1)^n。
• 类别为 2 的最小连通图是圈图 C₄。
• 计算 tcat(G) 或 crit(G) 在计算上是困难的，其复杂度随图的规模呈指数增长，且对一般图而言很可能不在 NP 中。