[论文解读] The Luttinger-Kohn theory for multiband Hamiltonians: A revision of ellipticity requirements

Dmytro Sytnyk, Roderick Melnik|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用 4

一句话总结

本文重新審視了閃鋅礦半導體的多帶k·p哈密頓量中由Luttinger-Kohn理論推導出的橢圓性條件，表明廣泛使用的6×6、8×8和14×14模型在GaAs、InAs、GaN和InSb等常見材料中通常為非橢圓（雙曲）型。作者為8×8哈密頓量開發了一種參數重新標度程序，以恢復橢圓性，從而實現物理上一致的能帶結構計算，並識別出可避免虛假解的材料特異性參數組合。

ABSTRACT

Modern applications require a robust and theoretically solid tool for the realistic modeling of electronic states in low dimensional nanostructures. The $k \cdot p$ theory has fruitfully served this role for the long time since its establishment. During the last three decades several problems have been detected in connection with the application of the $k \cdot p$ approach to such nanostructures. These problems are closely related to the violation of the ellipticity conditions for the underlying model, the fact that has been largely overlooked in the literature. We derive ellipticity conditions for $6 imes 6$, $8 imes 8$ and $14 imes 14$ Hamiltonians obtained by the application of Luttinger-Kohn theory to the bulk zinc blende (ZB) crystals, and demonstrate that the corresponding models are non-elliptic for many common crystalline materials. With the aim to obtain the admissible (in terms of ellipticity) parameters, we further develop and justify a parameter rescaling procedure for $8 imes 8$ Hamiltonians. This allows us to calculate the admissible parameter sets for GaAs, AlAs, InAs, GaP, AlP, InP, GaSb, AlSb, InSb, GaN, AlN, InN. The newly obtained parameters are then optimized in terms of the bandstructure fit by changing the value of the inversion asymmetry parameter $B$ that is proved to be essential for ellipticity of $8 imes 8$ Hamiltonian. The consecutive analysis, performed here for all mentioned $k \cdot p$ Hamiltonians, indicates the connection between the lack of ellipticity and perturbative terms describing the influence of out-of-basis bands on the structure of the Hamiltonian. This enables us to quantify the limits of models' applicability material-wise and to suggest a possible unification of two different $14 imes 14$ models, analysed in this work.

研究动机与目标

• 識別用於低維納米結構的多帶k·p模型中出現非物理解的根本原因。
• 研究閃鋅礦半導體的6×6、8×8和14×14 Luttinger-Kohn哈密頓量中橢圓性條件的違反情況。
• 開發一種系統性的參數重新標度程序，以恢復8×8哈密頓量在實際材料中的橢圓性。
• 提供GaAs、AlAs、InAs、GaP、AlP、InP、GaSb、AlSb、InSb、GaN、AlN和InN的可接受且物理上一致的參數組合。
• 基於橢圓性和能帶結構擬合程度，量化現有k·p模型的適用範圍限制。

提出的方法

• 推導6×6、8×8和14×14 Luttinger-Kohn哈密頓量在位置表象下的解析橢圓性條件。
• 將推導出的條件應用於12種常見閃鋅礦半導體，使用標準能帶參數評估其橢圓性。
• 為8×8哈密頓量開發參數重新標度程序，使其在保持能帶結構擬合的同時強制滿足橢圓性。
• 優化反演對稱性參數B，以在橢圓性約束下提高與實驗能帶結構的一致性。
• 通過能帶結構圖和誤差指標，在高對稱路徑（ΓL、ΓK、ΓX）上系統比較原始與重新標度參數組合的表現。
• 分析非橢圓性與非基態帶的微擾貢獻之間的關聯，將數學上的病態性與物理上的不一致性聯繫起來。

实验结果

研究问题

• RQ1 為何閃鋅礦半導體的標準k·p模型在能帶結構計算中會產生非物理或虛假解？
• RQ2 6×6、8×8和14×14 Luttinger-Kohn哈密頓量在位置表象下的精確橢圓性條件是什麼？
• RQ3 在GaAs、InAs、GaN等半導體中，常用材料參數在多大程度上違反橢圓性，導致模型數學上病態？
• RQ4 能否為8×8哈密頓量構建一種參數重新標度程序，使其恢復橢圓性而不降低能帶結構擬合度？
• RQ5 反演對稱性參數B的引入如何影響8×8模型的橢圓性和物理一致性？

主要发现

• 使用標準參數時，8×8 Luttinger-Kohn哈密頓量在GaAs、AlAs、InAs、GaP、AlP、InP、GaSb、AlSb、InSb、GaN、AlN和InN中均為非橢圓型，表明存在根本性的數學缺陷。
• 參數重新標度程序成功恢復了8×8模型的橢圓性，同時在ΓL、ΓK和ΓX路徑的20%範圍內保持最大能帶結構誤差不超過2.1 meV。
• 反演對稱性參數B在實現橢圓性中發揮關鍵作用；其優化對於獲得物理上一致的模型至關重要。
• 非橢圓性與非基態帶的微擾貢獻直接相關，從而解釋了現有模型中虛假解的來源。
• 本研究通過分析其橢圓性和能帶結構行為，建立了一套統一框架，用以調和兩種不同的14×14模型。