[论文解读] The Lyapunov Concept of Stability from the Standpoint of Poincare Approach: General Procedure of Utilization of Lyapunov Functions for Non-Linear Non-Autonomous Parametric Differential Inclusions

Myroslav Sparavalo|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2014

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文提出了一种通用方法，通过受庞加莱启发的三点策略与基于分层纤维丛的几何-拓扑分析，构建非线性非自治参数化微分包含的李雅普诺夫函数。通过一种特殊变换实现典范形式，使标准李雅普诺夫函数得以应用，并推导出局部与全局渐近稳定的条件，尤其通过元丛结构中典型纤维的分类稳定性来实现。

ABSTRACT

The objective of the research is to develop a general method of constructing Lyapunov functions for non-linear non-autonomous differential inclusions described by ordinary differential equations with parameters. The goal has been attained through the following ideas and tools. First, three-point Poincare strategy of the investigation of differential equations and manifolds has been used. Second, the geometric-topological structure of the non-linear non-autonomous parametric differential inclusions has been presented and analyzed in the framework of hierarchical fiber bundles. Third, a special canonizing transformation of the differential inclusions that allows to present them in special canonical form, for which certain standard forms of Lyapunov functions exist, has been found. The conditions establishing the relation between the local asymptotical stability of two corresponding particular integral curves of a given differential inclusion in its initial and canonical forms are ascertained. The global asymptotical stability of the entire free dynamical systems as some restrictions of a given parametric differential inclusion and the whole latter one per se has been investigated in terms of the classificational stability of the typical fiber of the meta-bundle. There have discussed the prospects of development and modifications of the Lyapunov second method in the light of the discovery of the new features of Lyapunov functions.

研究动机与目标

• 开发一种用于构建非线性非自治参数化微分包含李雅普诺夫函数的通用方法。
• 应用三点庞加莱策略分析微分包含及其积分曲线的稳定性。
• 利用分层纤维丛与元丛结构分析此类包含的几何-拓扑结构。
• 识别在微分包含的原始形式与典范形式之间局部渐近稳定性得以保持的条件。
• 通过元丛结构中典型纤维的分类稳定性，研究自由动力系统与完整参数化包含的全局渐近稳定性。

提出的方法

• 采用三点庞加莱策略，研究非自治微分包含中解与流形的行为。
• 在分层纤维丛框架内表示微分包含的几何-拓扑结构。
• 推导一种特殊典范化变换，将原始微分包含转化为标准李雅普诺夫函数可应用的典范形式。
• 建立原始形式与典范形式中对应积分曲线之间局部渐近稳定性保持的必要与充分条件。
• 通过分析元丛结构中典型纤维的分类稳定性，研究全局渐近稳定性。
• 运用微分拓扑、纤维丛理论与稳定性理论的工具，统一处理参数化与非自治系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 庞加莱三点策略如何被调整以分析非线性非自治参数化微分包含的稳定性？
• RQ2 通过何种特殊变换可实现典范形式，从而使得标准李雅普诺夫函数得以应用？
• RQ3 在微分包含的原始形式与典范形式之间，何种条件可确保局部渐近稳定性得以保持？
• RQ4 如何通过纤维丛结构表征整个自由动力系统的全局渐近稳定性？
• RQ5 元丛中典型纤维的分类稳定性在决定完整参数化系统稳定性方面起到何种作用？

主要发现

• 通过典范化变换，为非线性非自治参数化微分包含建立了一种通用的李雅普诺夫函数构造程序。
• 推导出确保原始形式与典范形式中对应积分曲线之间局部渐近稳定性保持的条件。
• 利用分层纤维丛完全表征了系统几何-拓扑结构，从而实现系统化的稳定性分析。
• 整个自由动力系统的全局渐近稳定性与元丛中典型纤维的分类稳定性相关联。
• 本研究揭示了李雅普诺夫函数的新结构特征，提示对经典李雅普诺夫第二方法进行拓展与修正。
• 该框架提供了一种统一的稳定性分析方法，整合了微分方程、拓扑学与控制理论。