[论文解读] The M öbius Disjointness Conjecture on infinite-dimensional torus

Qingyang Liu, Jing Ma+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2026

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一句话总结

作者证明了 Sarnak 的 Möbius 无关猜想对于无穷维环 T^ω 上的一类 distal skew product 广义成立，建立了两条动力学准则（多项式阶刚性与次多项式测度复杂性）来蕴涵无关性。

ABSTRACT

Let $\mathbb{T}^ω$ be the infinite-dimensional torus, and $T: \mathbb{T}^ω o \mathbb{T}^ω$ be defined by \[ T: (x_1, x_2, \dots, x_k, \ldots) \mapsto (x_1 + α, x_2 + h(x_1), \dots, x_k + h(x_1 + (k-2)β), \dots) \] with $α\in \mathbb{R}, β\in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q},$ and $h: \mathbb{R} o \mathbb{R}$ being $1$-period and $C^{1+\varepsilon}$-smooth. This flow $(\mathbb{T}^ω, T)$ is distal, and is also irregular in the sense that its Birkhoff average does not exist for all $x\in \mathbb{T}^ω$. The main result of this paper is that the M öbius Disjointness Conjecture of Sarnak holds for $(\mathbb{T}^ω, T)$.

研究动机与目标

• 为 distal、无穷维 skew-product 流的 Sarnak 的 Möbius 无关猜想提供动机与检验手段。
• 将 Furstenberg–Lau 框架扩展到 T^ω 与非线性 h，以扩展 Möbius 无关性成立的类别。
• 发展并应用动力学准则（刚性与测度复杂性）以在无穷维度中验证无关性。

提出的方法

• 研究由 T:(x1,x2,…) ↦ (x1+α, x2+h(x1), x3+h(x1+β), …) 给出的 T 在 T^ω 上的 skew product，其中 α∈R, β∈RyQ，且 h 为 1-周期、C^{1+ε} 光滑。
• 证明 T 是 distal 且不规则（Birkhoff 平均值可能不存在）。
• 证明刚性有多项式速率：存在序列 rn 使 ∑_{j≤r_n}^δ ||f∘T^{jr_n}-f||_{L^2(ν)}^2 → 0，f 属于线性稠密子集。
• 在 h 的光滑性加强（C^{∞}）下，通过平均度量 d̄_n 的覆盖数证明次多项式测度复杂性，进而得到相关结论。
• 利用现有准则：PR 刚性蕴涵 Möbius 无关性；次多项式测度复杂性蕴涵 Möbius 无关性；在对 h 的略有不同的假设下给出两种独立证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 α,β 和合适光滑度的 1-周期 h， Möbius 函数 μ(n) 是否仍与无限维 skew product (T^ω,T) 线性无关？
• RQ2 是否能为非线性无穷维 skew product 建立动力学准则（刚性多项式速率与次多项式测度复杂性）以推导 Möbius 无关性？
• RQ3 有理与无理 α 如何影响无关性结果，分别需要什么代数/动力工具？
• RQ4 在 T^ω 上的 Möbius 无关性框架中，在多大程度上可以将 Furstenberg 的不规则流纳入？
• RQ5 这些结果是否可以扩展到 h 的比所述 C^{1+ε} 或 C^{∞} 更广的正则性类？

主要发现

• 对于 α∈R、β∈RyQ，且 h 为 1-周期的 C^{1+ε} 光滑， Möbius 无关猜想在无限维 skew product (T^ω,T) 上成立。
• 定理 3.1 为所有不变测度 ν∈M(T^ω,T) 证明了刚性具有多项式速率。
• 定理 3.2 当 h 为 C^{∞} 时，为所有不变测度 ν∈M(T^ω,T) 证明了次多项式测度复杂性。
• 由这些准则，若 α 为无理数则可推出 Möbius 无关性；对有理 α 的情况则给出另一独立的论证。
• 本研究将关于 T^2 与 Furstenberg 不规则流的先前结果推广至无限维环设置，覆盖了广泛类别的非线性 skew products。