[论文解读] The $m$-Cover Posets and the Strip-Decomposition of $m$-Dyck Paths

Myrto Kallipoliti, Henri Mühle|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics被引用 1

一句话总结

本文引入了 m-cover 偏序集构造，以在分量旋转序下将 m-Tamari 格 T(m)n 实现为 Dyck 路径的 m 元组。关键创新在于将 m-Dyck 路径分解为经典 Dyck 路径，从而证明了 Tamari 格 Tn 的 m-cover 偏序集的最小格完备化同构于 T(m)n，该结果在 Cambrian 格和广义 Fuss-Catalan 数中有应用。

ABSTRACT

Abstract. In the first part of this article we present a realization of the m-Tamari lattice T (m)n in terms of m-tuples of Dyck paths of height n, equipped with componentwise rotation order. For that, we define the m-cover poset P〈m 〉 of an arbitrary bounded poset P, and show that the smallest lattice completion of the m-cover poset of the Tamari lattice Tn is isomorphic to the m-Tamari lattice T (m)n. A crucial tool for the proof of this isomorphism is a decomposition of m-Dyck paths into m-tuples of classical Dyck paths, which we call the strip-decomposition. Subsequently, we characterize the cases where the m-cover poset of an arbitrary poset is a lattice. Finally, we show that the m-cover poset of the Cambrian lattice of the dihedral group is a trim lattice with cardinality equal to the generalized Fuss-Catalan number of the dihedral group. Résumé. Dans la première partie de cet article nous présentons une réalisation du treillis m-Tamari T (m)n a ̀ l’aide de m-uplets de chemins de Dyck de hauteur n, équipés de l’ordre de rotation composante par composante. Pour cela, nous définissons le poset de m-couverture P〈m 〉 d’un poset borne ́ quelconque P, et montrons que la plus petite complétion en treillis du poset dem-couverture du treillis de Tamari Tn est isomorphe au treillism-Tamari T (m)n. Un outil crucial pour la preuve de cet isomorphisme est une décomposition des cheminsm-Dyck enm-uplets de chemins de Dyck usuels, que nous appelons la décomposition en bandes. Par la suite, nous caractérisons les cas ou ̀ le poset de m-couverture d’un poset donne ́ est un treillis. Enfin nous montrons que le poset dem-couverture du treillis Cambrien du groupe diédral est un treillis svelte de cardinalite ́ le nombre généralise ́ de Fuss-Catalan du groupe diédral.

研究动机与目标

• 通过 m 元组 Dyck 路径提供 m-Tamari 格 T(m)n 的新组合实现。
• 为任意有界偏序集 P 定义 m-cover 偏序集 P⟨m⟩，并研究其格性质。
• 建立 Tamari 格 Tn 的 m-cover 偏序集的最小格完备化同构于 T(m)n。
• 刻画 m-cover 偏序集 P⟨m⟩ 为格的条件。
• 证明二面体群的 Cambrian 格的 m-cover 偏序集是一个 trim 格，其基数等于该群的广义 Fuss-Catalan 数。

提出的方法

• 将 m-cover 偏序集 P⟨m⟩ 定义为有界偏序集 P 中 m 个覆盖的 m 元组构成的偏序集，采用分量序。
• 引入 m-Dyck 路径的条带分解，将其分解为 m 元组的经典 Dyck 路径，以支持结构分析。
• 通过 m 个 Dyck 路径的 m 元组上的分量旋转序，定义 m-Tamari 格 T(m)n。
• 利用条带分解与序结构，证明当 P = Tn 时，P⟨m⟩ 的最小格完备化同构于 T(m)n。
• 基于原偏序集 P 的结构，刻画 P⟨m⟩ 为格的条件。
• 将该框架应用于二面体群的 Cambrian 格，证明其生成一个基数等于广义 Fuss-Catalan 数的 trim 格。

实验结果

研究问题

• RQ1 m-Tamari 格 T(m)n 能否在分量旋转序下被实现为 Dyck 路径的 m 元组构成的偏序集？
• RQ2 在何种条件下，有界偏序集 P 的 m-cover 偏序集 P⟨m⟩ 是一个格？
• RQ3 m-Dyck 路径的条带分解如何促进 Tn⟨m⟩ 的最小格完备化与 T(m)n 之间的同构？
• RQ4 二面体群的 Cambrian 格的 m-cover 偏序集的结构是什么？
• RQ5 二面体群的 Cambrian 格的 m-cover 偏序集的基数是多少？其与广义 Fuss-Catalan 数有何关系？

主要发现

• Tamari 格 Tn 的 m-cover 偏序集的最小格完备化同构于 m-Tamari 格 T(m)n。
• 条带分解提供了 m-Dyck 路径到经典 Dyck 路径 m 元组的双射分解，这对同构证明至关重要。
• 当且仅当原偏序集 P 满足特定结构条件时，m-cover 偏序集 P⟨m⟩ 才是格，本文对这些条件进行了刻画。
• 二面体群的 Cambrian 格的 m-cover 偏序集是一个 trim 格，其基数等于该二面体群的广义 Fuss-Catalan 数。
• m 个 Dyck 路径的 m 元组上的分量旋转序实现了 m-Tamari 格 T(m)n，为该格提供了新的组合模型。