[论文解读] The many body problem in relativistic quantum mechanics

M. Moshińsky, A. G. Nikitin|ArXiv.org|Feb 3, 2005

Nuclear physics research studies参考文献 3被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种在质心系中适用于相同自旋-1/2粒子的庞加莱不变n体哈密顿量，通过广义Foldy-Wouthuysen变换分离正能级区段。采用谐振子势来模拟粲底强子和底强子谱，仅使用两个自由参数——耦合强度$ \omega$和自旋-轨道耦合参数$ \alpha$——即实现了与实验质量劈裂的良好定量符合。该方法提供了一种无需场论的可行相对论性多体框架。

ABSTRACT

We discusse a relativistic Hamiltonian for an n-body problem in which all the masses are equal and all spins take value 1/2. In the frame of reference in which the total momentum $vP=0$, the Foldy-Wouthuysen transformation is applies and the positive energy part of the Hamiltonian is separated. The Hamiltonian with unharmonic oscillator potential is applied to describe mass differences for charmonium and bottonium states.

研究动机与目标

• 开发一种保持庞加莱不变性的相对论性多体形式，同时使用单一时间变量，避免多时间形式的复杂性。
• 解决在相对论性n体系统中从负能态中系统分离正能态解的挑战，类似于非相对论性多体方法的处理方式。
• 构建一个适用于相同自旋-1/2粒子（如夸克偶素）的可计算相对论性哈密顿量，能够重现观测到的质量谱。
• 证明一种简单势模型——带自旋-轨道耦合的谐振子势——在不引入完整量子场论的前提下，能够有效描述重夸克偶素态的可行性。

提出的方法

• 为每个粒子使用狄拉克型算符，构建显式庞加莱不变的n体波方程，适用于质量相同且自旋为1/2的粒子。
• 在质心系（$\mathbf{P} = 0$）中应用Foldy-Wouthuysen变换，以解耦正能态与负能态，从而隔离物理区段。
• 采用包含自旋-轨道和自旋-自旋相互作用的相对论性哈密顿量，通过参数$ \omega$和$ \alpha$引入非谐振子势。
• 利用球谐旋量基矢中的$ \rho^2$、$ \pi^2$、$ \pi^4$、$ \pi^6$和$({\bf S} \cdot \mbox{\boldmath$\pi$})^2$的矩阵元推导能量本征值。
• 使用MAPLE软件对$ \omega$和$ \alpha$进行数值拟合，以最小化理论谱与实验谱之间的偏差。
• 通过将模型预测的$\Upsilon$和$\Psi$态质量差与PDG实验数据对比，验证了模型的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在单时间框架下构建一个保持庞加莱不变性的相对论性n体哈密顿量，而不牺牲相对论不变性？
• RQ2 如何通过广义Foldy-Wouthuysen变换的推广，系统地分离相对论性n体系统的正能区段？
• RQ3 带自旋-轨道耦合的简单谐振子势在多大程度上能重现粲底强子和底强子态的质量谱？
• RQ4 在相对论性多体框架中，实现与实验夸克偶素质量劈裂定量符合所需的最少参数集是什么？

主要发现

• 该模型预测$\Upsilon(2S)-\Upsilon(1S)$质量劈裂为0.574 GeV，与实验值0.563 GeV相比，相对偏差约为2%。
• 对于$\Upsilon(3S)-\Upsilon(1S)$态，理论预测为0.963 GeV，实验值为0.895 GeV，偏差达7.6%。
• 该模型精确预测了$\Psi(2S)-J/\Psi(1S)$劈裂为0.589 GeV，与实验值完全一致，符合模型精度。
• $\xi_{c2}(3P)-J/\Psi(1S)$态的预测值为0.422 GeV，接近实验值0.459 GeV，表明对高激发径向态的描述具有合理一致性。
• 拟合得到的参数为：底强子对应$m = 4.7$ GeV，$ \omega = 0.378$，$ \alpha = 4.7$；粲底强子对应$m = 1.4$ GeV，$ \omega = 0.45$，$ \alpha = 1.2$。
• 尽管所用势能为唯象性模型，缺乏坚实的物理基础，但该模型在多个态上均实现了与实验谱的良好定性与定量符合。