[论文解读] The Many Faces of the Subspace Theorem (after Adamczewski, Bugeaud, Corvaja, Zannier...)

Yuri Bilu|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 58被引用 13

一句话总结

本文综述了大数定理在丢番图逼近与超越数论中的高级应用，展示了其在解决代数数复杂性、幂和型丢番图方程以及代数曲面上整点等深层问题中的强大能力。主要贡献是完整证明了Levin-Autissier定理：在无穷远处有四个或更多适当相交的充分大除子的仿射曲面，其整点集不可能在Zariski拓扑下稠密。

ABSTRACT

During the last decade the Subspace Theorem found several quite unexpected applications, mainly in the Diophantine Analysis and in the Transcendence Theory. Among the great variety of spectacular results, I have chosen several which are technically simpler and which allow one to appreciate how miraculously does the Subspace Theorem emerge in numerous situations, implying beautiful solutions to difficult problems hardly anybody hoped to solve so easily. The three main topics discussed in this article are: the work of Adamczewski and Bugeaud on complexity of algebraic numbers; the work of Corvaja and Zannier on Diophantine equations with power sums; the work of Corvaja and Zannier on integral points on curves and surfaces, and the subsequent development due to Levin and Autissier. In particular, we give a complete proof of the beautiful theorem of Levin and Autissier: an affine surface with 4 (or more) properly intersecting ample divisors at infinity cannot have a Zariski dense set of integral points.

研究动机与目标

• 展示大数定理在解决丢番图逼近与超越数论中困难问题时的多功能性与强大能力。
• 完整呈现Levin-Autissier定理的证明，该定理涉及具有多个在无穷远处的充分大除子的仿射曲面上整点集的非稠密性。
• 阐明大数定理如何促成代数数复杂性、幂和型丢番图方程以及曲线与曲面上整点问题的突破性结果。
• 强调尽管大数定理最初提出已数十年，它在现代算术几何中仍作为核心工具的重要作用。

提出的方法

• 采用Schlickewei推广的大数定理形式，将其应用于各类丢番图问题。
• 将该定理应用于控制涉及代数数及其$S$-整数逼近的不等式解的个数。
• 运用上同调技术与Riemann-Roch理论，估计曲线上与曲面上线性系统维数。
• 利用Bertini定理将问题约化至光滑曲线，并通过层的正合列控制上同调群。
• 在代数曲面上应用高度理论与除子理论，特别关注除子的交叠理论。
• 将大数定理与涉及充分性与有效除子的几何论证相结合，导出有限性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 大数定理能否用于证明涉及代数数及其逼近的丢番图不等式解的有限性？
• RQ2 涉及幂和的丢番图方程组在何种条件下仅有有限多组解？
• RQ3 在何种几何条件下，一个仿射曲面的整点集会非Zariski稠密？
• RQ4 大数定理如何帮助证明代数数的十进制展开中不可能出现任意长的零块？
• RQ5 两个线性递推序列的商在何种精确条件下会无限多次为整数？

主要发现

• 证明了Levin-Autissier定理：在无穷远处有四个或更多适当相交的充分大除子的仿射曲面，其整点集不可能在Zariski拓扑下稠密。
• 通过将大数定理应用于$S$-整数，证明了代数数的十进制展开中不可能出现任意长的零块。
• 大数定理表明：对任意无理代数数$α$和$\varepsilon > 0$，不等式$|\alpha - \xi| < H(\xi)^{-1-\varepsilon}$在$S$-整数$\xi$中仅有有限多组解。
• 两个线性递推序列的商仅在特定条件下会无限多次为整数，该问题即使在无主导根的情况下也通过大数定理得以解决。
• 乘积$(ab+1)(ac+1)(bc+1)$不可能仅有小的素因子，从而证实了Győry、Sárközy与Stewart的猜想。
• 当$N \to \infty$时，整矩阵模$N$的乘法阶的增长速度超过$\log N$，该结果通过大数定理得以建立。